河南省郑州市2023届高三理数第一次质量预测试卷

更新时间：2023-03-29 浏览次数：94 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·郑州模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·郑州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 的实部为1， $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或1 D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. (2023·郑州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的渐近线方程为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·郑州模拟) 欧拉函数 $\text{[math]}$ 的函数值等于所有不超过正整数 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 互素（也称互质）的正整数的个数，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 单调 B . $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 D . $\text{[math]}$

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5. (2023·郑州模拟) 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的（）

A . 最大值为4 B . 最小值为4 C . 最大值为5 D . 最小值为5

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6. (2023·郑州模拟) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则公差 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·郑州模拟) 记函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象的一条对称轴为 $\text{[math]}$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；
④为了得到 $\text{[math]}$ 的图象，只需将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2023·郑州模拟) 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为 $\text{[math]}$ ，高为2，体积为 $\text{[math]}$ ，则该“方斗”的侧面积为（）

A . 24 B . 12 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·郑州模拟) 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·郑州模拟) 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在正方形对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上移动，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度保持相等，记 $\text{[math]}$ ．则下列结论错误的是（）

A . 该模型外接球的半径为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度最小 C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为60° D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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11. (2023·郑州模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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12. (2023·郑州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶函数， $\text{[math]}$ 为奇函数，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . 2 D . 2023

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二、填空题

13. (2023·郑州模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中的 $\text{[math]}$ 项系数为；

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14. (2023·郑州模拟) 已知四边形 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2023·郑州模拟) 经过点 $\text{[math]}$ 以及圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的圆的方程为．

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16. (2023·郑州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 有两个不同的极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. (2023·郑州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·郑州模拟) 如图，正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面边长和高均为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，判断点 $\text{[math]}$ 是否在平面 $\text{[math]}$ 内，并证明你的结论；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. (2023·郑州模拟) 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比 $\text{[math]}$ ，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为 $\text{[math]}$ ，乙队每名球员射进的概率为 $\text{[math]}$ ．每轮点球结果互不影响．
1. （1）设甲队踢了5球， $\text{[math]}$ 为射进点球的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
2. （2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
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20. (2023·郑州模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设不过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，证明直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 为定值．
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21. (2023·郑州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间与最值；
2. （2）若存在 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. (2023·郑州模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ），以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程和直线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于A， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2023·郑州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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