浙江省杭州市2023届高三下学期数学教学质量检测（二模）试卷

更新时间：2023-04-19 浏览次数：117 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023高三上·重庆市月考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·杭州模拟) 设复数z满足 $\text{[math]}$ （i是虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·杭州模拟) 在数列 $\text{[math]}$ 中，“数列 $\text{[math]}$ 是等比数列”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2023·杭州模拟) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 14 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·杭州模拟) 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉 $\text{[math]}$ 后，下列说法正确的是（）

A . 相关系数r变小 B . 决定系数 $\text{[math]}$ 变小 C . 残差平方和变大 D . 解释变量x与预报变量y的相关性变强

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6. (2023·杭州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则ab的最小值为（）

A . 4 B . 8 C . 16 D . 32

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7. (2024高一下·上饶月考) 如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的是（）

A . B . C . D .

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8. (2024高三下·吉首模拟) 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023·杭州模拟) 若直线 $\text{[math]}$ 与圆C： $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ 的长度可能等于（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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10. (2023·杭州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是奇函数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的周期是4 C . $\text{[math]}$ 是偶函数 D . $\text{[math]}$

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11. (2023·杭州模拟) 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A₁：第一次取出的是红球；事件A₂：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）

A . 事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为互斥事件 B . 事件B，C为独立事件 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023·杭州模拟) 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 球与圆柱的体积之比为 $\text{[math]}$ B . 四面体CDEF的体积的取值范围为 $\text{[math]}$ C . 平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\text{[math]}$ D . 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023·杭州模拟) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为

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14. (2023·杭州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2023·杭州模拟) 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为焦点）上一点，点P处的切线平分 $\text{[math]}$ ．已知双曲线C： $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，l是点 $\text{[math]}$ 处的切线，过左焦点 $\text{[math]}$ 作l的垂线，垂足为M，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023·杭州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为l： $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2023·杭州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且AC边上的高为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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18. (2023·杭州模拟) 设公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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19. (2023·杭州模拟) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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20. (2023·杭州模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  ①求证：直线 $\text{[math]}$ 经过定点．
  ②设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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21. (2023·杭州模拟) 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，那么 $\text{[math]}$ 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 $\text{[math]}$ ，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为 $\text{[math]}$ ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为 $\text{[math]}$ ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，最终输光的概率为 $\text{[math]}$ ，请回答下列问题：
1. （1）请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数值．
2. （2）证明 $\text{[math]}$ 是一个等差数列，并写出公差d．
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，分别计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的数值，并结合实际，解释当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的统计含义．
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22. (2023·杭州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 零点个数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
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