2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：462 类型：高考真卷

一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知集合M={x|（x﹣1）²＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）

A . {0，1，2} B . {﹣1，0，1，2} C . {﹣1，0，2，3} D . {0，1，2，3}

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2. (2013·新课标Ⅱ卷理) 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）

A . ﹣1+i B . ﹣1﹣i C . 1+i D . 1﹣i

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3. (2013·新课标Ⅱ卷理) 等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₃=a₂+10a₁ ， a₅=9，则a₁=（）

A . $\text{[math]}$ B . - $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . - $\text{[math]}$

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4. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）

A . α∥β且l∥α B . α⊥β且l⊥β C . α与β相交，且交线垂直于l D . α与β相交，且交线平行于l

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5. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知（1+ax）（1+x）⁵的展开式中x²的系数为5，则a=（）

A . ﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D . ﹣1

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6. (2013·新课标Ⅱ卷理)
执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2013·新课标Ⅱ卷理) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）

A . B . C . D .

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8. (2013·新课标Ⅱ卷理) 设a=log₃6，b=log₅10，c=log₇14，则（）

A . c＞b＞a B . b＞c＞a C . a＞c＞b D . a＞b＞c

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9. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知a＞0，实数x，y满足： $\text{[math]}$ ，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（）

A . ∃x_α∈R，f（x_α）=0 B . 函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C . 若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x_α）单调递减 D . 若x_α是f（x）的极值点，则f′（x_α）=0

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11. (2013·新课标Ⅱ卷理) 设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）

A . y²=4x或y²=8x B . y²=2x或y²=8x C . y²=4x或y²=16x D . y²=2x或y²=16x

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12. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）

A . （0，1） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 $\text{[math]}$ =．

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14. (2019高三上·梅县月考) 从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 $\text{[math]}$ ，则n=．

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15. (2020高一下·蚌埠月考) 设θ为第二象限角，若 $\text{[math]}$ ，则sinθ+cosθ=．

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16. (2024高二下·凯里月考) 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：

17. (2013·新课标Ⅱ卷理) △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
1. （1）求B；
2. （2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
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18. (2013·新课标Ⅱ卷理) 如图，直棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB= $\text{[math]}$ AB．
1. （1）证明：BC₁∥平面A₁CD
2. （2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．
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19. (2013·新课标Ⅱ卷理) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
1. （1）将T表示为x的函数；
2. （2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
3. （3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
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20. (2013·新课标Ⅱ卷理) 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ $\text{[math]}$ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求M的方程
2. （2） C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
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21. (2013·新课标Ⅱ卷理) 已知函数f（x）=e^x﹣ln（x+m）
1. （1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
2. （2）当m≤2时，证明f（x）＞0．
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22. (2013·新课标Ⅱ卷理) 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
1. （1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
2. （2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
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23. (2013·新课标Ⅱ卷理) 选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： $\text{[math]}$ 上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
1. （1）求M的轨迹的参数方程
2. （2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
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24. (2013·新课标Ⅱ卷理) 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
1. （1） $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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