一、填空题(本大题共有12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-12题每个空格填对得3分,否则一律得0分.
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2.
已知一个扇形的圆心角大小为
, 弧长为
, 则其面积为
.
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4.
已知角
的终边经过点
, 其中
, 则角
的余弦值为
.
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6.
若函数
为偶函数且非奇函数,则实数
的取值范围为
.
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7.
定义在
上的函数
不存在反函数,则实数
的取值范围是
.
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8.
已知
, 且
的充分不必要条件是
, 则
的取值范围是
.
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9.
如果关于
的一元三次方程
(
且
)有三个实数根
, 则
(用
表示)
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10.
已知定义在
上的函数
, 其中
, 如果函数
与
函数的值域相同,则
的取值范围是
.
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12.
已知函数
, 其中
, 若对任意的
, 总存在
, 使得
成立,则实数
的取值范围是
.
二、选择题(本大题共有4题,满分12分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
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14.
在平面直角坐标系中,给出下列命题:①小于
的角一定是锐角;②钝角一定是第二象限的角;③终边不重合的角一定不相等;④第二象限角大于第一象限角。
其中假命题的个数是( )
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
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15.
已知函数
, 有下列两个命题:
①的值域为;②对任意正有理数 , 函数存在奇数个零点。
则下列判断正确的是( )
A . ①②均为真命题
B . ①②均为假命题
C . ①为真命题②为假命题
D . ①为假命题②为真命题
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16.
已知函数
, 若不等式
在
上恒成立,则满足要求的有序数对
有( )
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 无数个
三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
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(1)
求证:
在定义域内是严格减函数.
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19.
近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力,某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格
(单位:元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足
。且销售量
(单位:件)与时间
(单位:天)的部分数据如下表所示
x | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
Q(x) | 50 | 55 | 60 | 55 | 50 |
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(1)
给出以下四个函数模型:①
;②
;③
;④
。请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量
与时间
的变化关系,并求出该函数的解析式及定义域
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(2)
设该工艺品的日销售收入为
(单位:元),求
的最小值。
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20.
已知函数
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(1)
写出
的单调区间以及在每个单调区间上的单调性(无需证明)
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(2)
解不等式
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21.
设函数
定义域为
, 如果存在常数
满足:任取
, 都有
, 则称
是
型函数,
是这个
型函数的
常数
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(1)
判断函数
是不是
型函数,并说明理由:如果是,给出一个
常数;
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(2)
设函数
是定义在区间
上的
型函数,
是一个常数,求证:函数
也是
型函数;
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(3)
设函数
是定义在
上的
型函数,其
常数
, 且
的值域也是
, 求
的解析式