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2014年高考理数真题试卷(湖北卷)

更新时间:2021-05-20 浏览次数:879 类型:高考真卷
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
  • 1. (2014·湖北理) i为虚数单位,( 2=(   )

    A . ﹣1 B . 1 C . ﹣i D . i
  • 2. (2022·廊坊模拟) 若二项式(2x+ 7的展开式中 的系数是84,则实数a=(   )

    A . 2 B . C . 1 D .
  • 3. (2014·湖北理) 设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的(   )
    A . 充分而不必要的条件 B . 必要而不充分的条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
  • 4. (2014·湖北理) 根据如下样本数据,得到回归方程 =bx+a,则(   )

    x

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    y

    4.0

    2.5

    ﹣0.5

    0.5

    ﹣2.0

    ﹣3.0

    A . a>0,b>0 B . a>0,b<0 C . a<0,b>0 D . a<0,b<0
  • 5. (2014·湖北理) 在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(    )
    A . ①和② B . ③和① C . ④和③ D . ④和②
  • 6. (2014·湖北理) 若函数f(x),g(x)满足 f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:

    ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;

    ②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;

    ③f(x)=x,g(x)=x2

    其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是(   )

    A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
  • 7. (2014·湖北理) 由不等式组 确定的平面区域记为Ω1 , 不等式组 确定的平面区域记为Ω2 , 在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为(   )

    A . B . C . D .
  • 8. (2014·湖北理) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈ L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(    )

    A . B . C . D .
  • 9. (2014·湖北理) 已知F1 , F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(   )
    A . B . C . 3 D . 2
  • 10. (2014·湖北理) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= (|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为(   )
    A . [ ] B . [ ] C . [ ] D . [ ,  ]
二、填空题
  • 11. (2014·湖北理) 设向量 =(3,3), =(1,﹣1),若( )⊥( ﹣λ ),则实数λ=
  • 12. (2014·湖北理) 直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=
  • 13. (2014·湖北理) 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=

  • 14. (2014·湖北理) 设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c= ,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.

    (I)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;

    (II)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数

    (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

  • 15. (2014·湖北理) 如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=

  • 16. (2014·湖北理) 已知曲线C1的参数方程是 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为
三、解答题
  • 17. (2014·湖北理) 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

    f(t)=10﹣ ,t∈[0,24)

    1. (1) 求实验室这一天的最大温差;
    2. (2) 若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
  • 18. (2014·湖北理) 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1 , a2 , a5成等比数列.
    1. (1) 求数列{an}的通项公式;
    2. (2) 记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
  • 19. (2014·湖北理) 如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1 , A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1 , BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2)

    1. (1) 当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;
    2. (2) 是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
  • 20. (2014·湖北理) 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
    1. (1) 求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
    2. (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:

      年入流量X

      40<X<80

      80≤X≤120

      X>120

      发电机最多可运行台数

      1

      2

      3

      若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

  • 21. (2014·湖北理) 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
    1. (1) 求轨迹C的方程;
    2. (2) 设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
  • 22. (2014·湖北理) π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.
    1. (1) 求函数f(x)= 的单调区间;
    2. (2) 求e3 , 3e , eπ , πe , 3π , π3这6个数中的最大数和最小数;
    3. (3) 将e3 , 3e , eπ , πe , 3π , π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.

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