2014年高考理数真题试卷（湖南卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：695 类型：高考真卷

一、选择题

1. (2014·湖南理) 满足 $\text{[math]}$ =i（i为虚数单位）的复数z=（）

A . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i B . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ i C . ﹣ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i D . ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ i

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2. (2014·湖南理) 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P₁ ， P₂ ， P₃ ，则（）

A . P₁=P₂＜P₃ B . P₂=P₃＜P₁ C . P₁=P₃＜P₂ D . P₁=P₂=P₃

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3. (2014·湖南理) 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x³+x²+1，则f（1）+g（1）=（）

A . ﹣3 B . ﹣1 C . 1 D . 3

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4. (2014·湖南理) （ $\text{[math]}$ x﹣2y）⁵的展开式中x²y³的系数是（）

A . ﹣20 B . ﹣5 C . 5 D . 20

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5. (2014·湖南理) 已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x²＞y² ，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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6. (2014·湖南理) 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

A . [﹣6，﹣2] B . [﹣5，﹣1] C . [﹣4，5] D . [﹣3，6]

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7. (2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2014·湖南理) 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . pq D . $\text{[math]}$ ﹣1

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9. (2014·湖南理) 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 $\text{[math]}$ f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）

A . x= $\text{[math]}$ B . x= $\text{[math]}$ C . x= $\text{[math]}$ D . x= $\text{[math]}$

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10. (2014·湖南理) 若函数f（x）=x²+e^x﹣ $\text{[math]}$ （x＜0）与g（x）=x²+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）

A . （﹣ $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ） C . （ $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ）

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二、填空题（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11. (2014·湖南理) 在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线l与曲线C： $\text{[math]}$ ，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．

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12. (2014·湖南理) 如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= $\text{[math]}$ ，BC=2 $\text{[math]}$ ，则⊙O的半径等于．

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13. (2014·湖南理) 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣ $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ }，则a=．

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14. (2014·湖南理) 若变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=

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15. (2014·湖南理) 如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y²=2px（p＞0）经过C，F两点，则 $\text{[math]}$ =．

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16. (2014·湖南理) 在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， $\text{[math]}$ ），C（3，0），动点D满足| $\text{[math]}$ |=1，则| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |的最大值是．

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三、解答题

17. (2014·湖南理) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
1. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
2. （2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
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18. (2014·湖南理) 如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= $\text{[math]}$ ．
1. （1）求cos∠CAD的值；
2. （2）若cos∠BAD=﹣ $\text{[math]}$ ，sin∠CBA= $\text{[math]}$ ，求BC的长．
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19. (2014·湖南理) 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD=O，
A₁C₁∩B₁D₁=O₁ ，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．
1. （1）证明：O₁O⊥底面ABCD；
2. （2）若∠CBA=60°，求二面角C₁﹣OB₁﹣D的余弦值．
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20. (2014·湖南理) 已知数列{a_n}满足a₁=1，|a_n+1﹣a_n|=pⁿ ， n∈N^* ．
1. （1）若{a_n}是递增数列，且a₁ ， 2a₂ ， 3a₃成等差数列，求p的值；
2. （2）若p= $\text{[math]}$ ，且{a_2n_﹣₁}是递增数列，{a_2n}是递减数列，求数列{a_n}的通项公式．
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21. (2014·湖南理) 如图，O为坐标原点，椭圆C₁： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为e₁；双曲线C₂： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1的左、右焦点分别为F₃ ， F₄ ，离心率为e₂ ，已知e₁e₂= $\text{[math]}$ ，且|F₂F₄|= $\text{[math]}$ ﹣1．
1. （1）求C₁、C₂的方程；
2. （2）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
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22. (2014·湖南理) 已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
2. （2）若f（x）存在两个极值点x₁ ， x₂ ，且f（x₁）+f（x₂）＞0，求a的取值范围．
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