河北省衡水市联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题

更新时间：2024-05-19 浏览次数：43 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·衡水模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·衡水模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 5

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3. (2024高三下·衡水模拟) 某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为 $\text{[math]}$ ，则估计获得 $\text{[math]}$ 的考生人数约为（）

A . 100 B . 75 C . 50 D . 25

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4. (2024高三上·衡阳月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线平行，则 $\text{[math]}$ 的右焦点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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5. (2024高三下·衡水模拟) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 156 B . 252 C . 192 D . 200

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6. (2024高三下·衡水模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，设内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，设甲： $\text{[math]}$ ，设乙： $\text{[math]}$ 是直角三角形，则（）

A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙为充分条件也不是乙的必要条件

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7. (2024高三下·衡水模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后所得的函数图象与曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·衡水模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 2023

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·衡水模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交 C . 当直线 $\text{[math]}$ 平分圆 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离最大值时， $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·衡水模拟) 将正四棱锥 $\text{[math]}$ 和正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面重合组成八面体 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·衡水模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合）的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024·) 在平面直角坐标系中，角 $\text{[math]}$ 的始边与 $\text{[math]}$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三下·衡水模拟) 在数轴上，一个质点从坐标原点出发向 $\text{[math]}$ 轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有种．

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14. (2024高三下·衡水模拟) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 与三棱锥 $\text{[math]}$ 的交线围成的面积最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15. (2024高三下·衡水模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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16. (2024高三下·衡水模拟) 甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
1. （1）求甲通过初试的概率；
2. （2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量 $\text{[math]}$ 为甲的得分成绩，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．
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17. (2024高三下·衡水模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. (2024高三下·衡水模拟) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. (2024高三下·衡水模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点．
  ①当直线 $\text{[math]}$ 斜率存在时，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  ②设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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