一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
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2.
已知关于
x的方程
的一个根是1，则此方程的另一根为（ ）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
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5.
(2024八下·无为期中)
如图，在平面直角坐标系中，
A（﹣1，0），
B（0，2），以点
A为圆心，
AB为半径画弧，交
x轴正半轴于点
C ， 点
C的横坐标为（ ）
A . 
﹣1
B . 2
C . 
﹣1
D . 1﹣
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6.
三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程
的解，则这个三角形的周长是（ ）
A . 15
B . 13
C . 11或8
D . 11和13
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7.
在下列条件中，能确定
是直角三角形的条件是（ ）
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8.
有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
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9.
我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是
a ，
b ，
c ， 记
，
S为三角形的面积，
， 若一个三角形的三边长分别为
a ，
b ，
c ，
，
， 且
， 则
b值为（ ）
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10.
(2023·日照)
已知直角三角形的三边
满足
， 分别以
为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为
， 均重叠部分的面积为
， 则（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
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12.
若关于
x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是
．
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13.
如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形
、正方形
、正方形
的面积分别记为
、
、
， 若
，
， 则
．
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14.
定义：若
、
是方程
的两个整数根，且满足
， 则称此类方程为“自然方程”，例如：
是“自然方程”．
⑴下列方程是“自然方程”的是；（填序号）
①
；②
；③
．
⑵若方程
是“自然方程”，m的值为．
三、（本大题共3小题，第15题，第16题各8分，第17题10分，满分共26分）
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16.
用适当的方法解方程：
．
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17.
已知
，
， 求下列各式的值：
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（1）
；
-
（2）
．
四、（本题共2小题，第18题10分，第19题8分，共18分）
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18.
图①、图②均是
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，
的顶点均在格点上，点
P为
内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
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（1）
在图①中，作
的边
上高
， 垂足为
H ， 则
▲ ，
▲ ；
-
（2）
在②中
的边
上确定一点
M ， 边
上确定一点
N ， 连接
、
， 使
的周长最短，最短周长为
▲ ．
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19.
观察下列各式及其验证过程：
， 验证：
；
， 验证：
；
， 验证：
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（1）
仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：
，
．
-
（2）
根据上述规律，写出用
n（
n为正整数且
）表示的等式，并加以验证．
五、（本题10分）
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20.
某中学有一块四边形的空地
， 如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量
，
，
，
，
． 若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
六、（本题10分）
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21.
已知关于
x的一元二次方程
．
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（2）
若
的两边
、
的长是方程的两个实数根，第三边
的长为4，当
是等腰三角形时，求
k的值．
七、（本题12分）
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22.
某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
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（2）
若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
八、（本题14分）
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23.
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（1）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
的三个顶点均在格点上，现将
绕点
按顺时针方向旋转90°，点
的对应点为
， 点
的对应点为
， 连接
， 如图所示则
．
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（2）
如图2，在等边
内有一点
， 且
，
，
， 如果将
绕点
逆时针旋转60°得出
， 求
的度数和
的长；
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（3）
如图3，将（2）题中“在等边
内有一点
”改为“在等腰直角三角形
内有一点
”，且
，
，
，
， 求
的度数．
