一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
(2024高三下·长沙期中)
某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A . 90种
B . 30种
C . 14种
D . 11种
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A . 512
B .
C . 2
D .
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5.
(2024高二下·荣昌期中)
某位同学家中常备三种感冒药,分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为

, 他感冒时,随机从这几盒药物里选择一盒服用,则感冒被治愈的概率为( )
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A . -3
B . -5
C . -37
D . -39
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7.
(2024高二下·荣昌期中)
质数(
prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如:3和5,5和

, 在1900年的国际数学大会上,著名数学家希尔伯特提出了23个问题,其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想:即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》,破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件

“这两个数都是素数”;事件

“这两个数不是孪生素数”,则

( )
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二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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(1)
求函数

的图象在点

处的切线方程;
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(2)
求函数

的单调区间.
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(2)
若第

项是有理项,求

的取值集合.
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(1)
证明:

平面

.
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(1)
求椭圆

的标准方程;
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(2)
设坐标原点为

, 若不经过点

的直线与

相交于

两点,直线

与

的斜率互为相反数,当

的面积最大时,求直线
MN的方程.
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19.
(2024高二下·荣昌期中)
英国数学家泰勒发现了如下公式:

其中
为自然对数的底数,
.以上公式称为泰勒公式.设
, 根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
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(1)
证明:

;
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(2)
设

, 证明:

;
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(3)
设

, 若

是

的极小值点,求实数

的取值范围.