一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A . 90种
B . 30种
C . 14种
D . 11种
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2.
二项式
的各项系数之和为( )
A . 512
B .
C . 2
D .
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4.
从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法种数为( )
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5.
某位同学家中常备三种感冒药,分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为
, 他感冒时,随机从这几盒药物里选择一盒服用,则感冒被治愈的概率为( )
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6.
已知
(
为常数)在
上有最大值3,则函数
在
上的最小值为( )
A . -3
B . -5
C . -37
D . -39
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7.
质数(
prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如:3和5,5和
, 在1900年的国际数学大会上,著名数学家希尔伯特提出了23个问题,其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想:即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》,破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件
“这两个数都是素数”;事件
“这两个数不是孪生素数”,则
( )
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8.
已知函数
, 若不等式
在
上恒成立,则实数
的取值范围是( )
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
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10.
甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.设
“从甲罐取出的球是红球”,
“从甲罐取出的球是白球”,
“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
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13.
若
, 则
.
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14.
已知
A ,
B分别是函数
和
图象上的动点,若对任意的
, 都有
恒成立,则实数
的最大值为
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15.
已知函数
, 且
.
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(1)
求函数
的图象在点
处的切线方程;
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(2)
求函数
的单调区间.
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(2)
若第
项是有理项,求
的取值集合.
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(1)
证明:
平面
.
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18.
已知椭圆
的上、下顶点分别为
, 点
在
上,且
.
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(1)
求椭圆
的标准方程;
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(2)
设坐标原点为
, 若不经过点
的直线与
相交于
两点,直线
与
的斜率互为相反数,当
的面积最大时,求直线
MN的方程.
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19.
(2024高三下·贵阳模拟)
英国数学家泰勒发现了如下公式:
其中为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设 , 根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
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(1)
证明:
;
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(2)
设
, 证明:
;
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(3)
设
, 若
是
的极小值点,求实数
的取值范围.