河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题

更新时间：2024-06-23 浏览次数：8 类型：月考试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·河北月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·河北月考) 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，则E的长轴长为

A . 1 B . 2 C . 4 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·河北月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·河北月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·河北月考) 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 $\text{[math]}$ 为整数，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 除得的余数相同，则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对模 $\text{[math]}$ 同余，记为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是（）

A . 2018 B . 2020 C . 2022 D . 2024

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6. (2024高三下·河北月考) 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最大值为4，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·河北月考) 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·河北月考) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球半径的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·河北月考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则( )

A . 两圆的圆心距 $\text{[math]}$ 的最小值为1 B . 若圆O与圆C相切，则 $\text{[math]}$ C . 若圆O与圆C恰有两条公切线，则 $\text{[math]}$ D . 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

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10. (2024高三下·河北月考) 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）
A 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

A . 对任意复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ B . 对任意复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ C . 在复平面内，若 $\text{[math]}$ ，则集合M所构成区域的面积为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·河北月考) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点P是侧面 $\text{[math]}$ 内的一点，点E是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A . 当点P是线段 $\text{[math]}$ 的中点时，存在点E，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 当点E为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，过点A，E， $\text{[math]}$ 的平面截该正方体所得的截面的面积为 $\text{[math]}$ C . 点E到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当点E为棱 $\text{[math]}$ 的中点且 $\text{[math]}$ 时，则点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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13. (2024高三下·河北月考) 已知 $\text{[math]}$ ，若平面内满足到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1的点P有且只有3个，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知等差数列 $\text{[math]}$ （公差不为0）和等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，如果关于 $\text{[math]}$ 的实系数方程 $\text{[math]}$ 有实数解，则以下1003个方程 $\text{[math]}$ 中，有实数解的方程至少有个.

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三下·河北月考) 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面 $\text{[math]}$ 平面BCE ， O为BC的中点，M为CE的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABE；
2. （2）求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．
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16. (2024高三下·河北月考) 用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则
1. （1）在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；
2. （2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望．
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17. (2024高三下·河北月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. (2024高三下·河北月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A、B两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围．
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19. (2024高三下·河北月考) 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $\text{[math]}$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\text{[math]}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\text{[math]}$ .
例如：对于集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在一一对应关系 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ .
1. （1）已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否成立?请说明理由；
2. （2）证明：① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ .
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