湖南省2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷

更新时间：2024-07-09 浏览次数：20 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·江西模拟) 已知奇函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，且 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某班同学利用课外实践课，测量A ， B两地之间的距离，在C处测得A ， C两地之间的距离是4千米，B ， C两地之间的距离是6千米，且 $\text{[math]}$ ，则A ， B两地之间的距离是（）

A . $\text{[math]}$ 千米 B . $\text{[math]}$ 千米 C . $\text{[math]}$ 千米 D . $\text{[math]}$ 千米

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5. 已知命题p：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有零点，则命题p成立的一个必要不充分条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 4，E在线段 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知长方体 $\text{[math]}$ 的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱 $\text{[math]}$ ，在矩形 $\text{[math]}$ 内有一动点P满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知m ， n是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，下列结论不正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象 B . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称

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11. 已知三棱锥P—ABC的所有棱长都是6，D ， E分别是三棱锥P—ABC外接球和内切球上的点，则（）

A . 三棱锥P—ABC的体积是 $\text{[math]}$ B . 三棱锥P—ABC内切球的半径是 $\text{[math]}$ C . DE长度的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 三棱锥P—ABC外接球的体积是 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 某连锁超市在A ， B ， C三地的数量之比为 $\text{[math]}$ ，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则B地被抽取的数量是.

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13. 若实数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为，此时 $\text{[math]}$ .

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14. 在长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在线段AB上， $\text{[math]}$ ，沿DE将△ADE折起，使得 $\text{[math]}$ ，此时四棱锥A—BCDE的体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在三棱锥S—ABC中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求三棱锥的体积 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求侧面SBC与侧面SAB所成的二面角的余弦值.
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围.
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17. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， S为△ABC的面积，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角A；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为AB的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与CD所成角的余弦值.
3. （3）在 $\text{[math]}$ 上是否存在点E ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存出在，说明理由.
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19. 在复数域中，对于正整数n满足 $\text{[math]}$ 的所有复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m ，都有 $\text{[math]}$ ，则称这种复数为n次的本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当 $\text{[math]}$ 时，存在四个4次单位根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因此只有两个4次本原单位根 $\text{[math]}$ ，对于正整数n ，设n次本原单位根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则称多项式 $\text{[math]}$ 为n次本原多项式，记为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，请回答以下问题.
1. （1）直接写出8次单位根，并指出哪些是8次本原单位根（无需证明）；
2. （2）求出 $\text{[math]}$ ，并计算 $\text{[math]}$ ，由此猜想 $\text{[math]}$ （无需证明）；
3. （3）设所有16次本原单位根在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，复平面内一点P所对应的复数z满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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