广东省东莞市麻涌中学、塘厦中学、第七高级中学、济川中学四校联...

更新时间：2024-07-09 浏览次数：4 类型：期中考试

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部等于（）

A . 4 B . 2 C . -2 D . -4

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2. 下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 零向量的长度是0 C . 长度相等的向量叫相等向量 D . 共线向量是在同一条直线上的向量

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3. 数据 $\text{[math]}$ 的第15百分位数为（）

A . 70 B . 69 C . 75 D . 96

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4. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ，以向量 $\text{[math]}$ 为基底，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF ，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥 $\text{[math]}$ ，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为 $\text{[math]}$ ，那么这个半球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知边长为2的菱形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. (2022·广东模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E ， F分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，G为线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，则（）

A . 存在点G ，使直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点G ，使平面 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 D . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得截面的最大面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高一下·威远月考) 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB ，一研究小组选取了与该楼底部 $\text{[math]}$ 在同一水平面内的两个测量基点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点处测得该楼顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，则该楼的高度AB为m.

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14. 如图，在棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是 $\text{[math]}$ .
1. （1）计算 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当k为何值时， $\text{[math]}$ ?
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16. 锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ .
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17. 如图，已知等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折成 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角.
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18. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以O为原点，分别以射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 确定的坐标系 $\text{[math]}$ 称为基底 $\text{[math]}$ 坐标系 $\text{[math]}$ .当向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不垂直时，坐标系 $\text{[math]}$ 就是平面斜坐标系，简记为 $\text{[math]}$ .对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称实数对 $\text{[math]}$ 为点Р在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中的坐标.

今有斜坐标系 $\text{[math]}$ （长度单位为米，如右图），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$
1. （1）计算 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）质点甲在 $\text{[math]}$ 上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿 $\text{[math]}$ 的方向，乙沿 $\text{[math]}$ 的方向同时以3米/小时的速度移动.
  ①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，表示 $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ 时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
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19. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由.
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