北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试...

更新时间：2024-11-04 浏览次数：7 类型：期中考试

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）

1. (2024高一下·北京市期中) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2024高一下·北京市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . ﹣4 B . 1 C . 2 D . 4

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3. (2024高一下·北京市期中) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是（）

A . 既不共线也不垂直 B . 垂直 C . 同向 D . 反向

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4. (2024高一下·潮阳月考) （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·北京市期中) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ 是平面内四个不同的点，则“ $\text{[math]}$ ”是“四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2024高一下·北京市期中) 等边 $\text{[math]}$ 的边长为2，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·北京市期中) 为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，需要把函数 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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9. (2024高一下·北京市期中) 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有 $\text{[math]}$ 满足“勾3股4弦5”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 3 B . 4 C . 9 D . 不能确定

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10. (2024高一下·北京市期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）

11. (2024高一下·北京市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. (2024高一下·北京市期中) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高一下·北京市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则求 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高一下·北京市期中) 已知非零平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
其中正确命题的序号是．

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15. (2024高一下·北京市期中) 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16. (2024高一下·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）当k为何值时， $\text{[math]}$ ？
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17. (2024高一下·北京市期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）用向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2024高一下·北京市期中) 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $\text{[math]}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $\text{[math]}$ n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．

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19. (2024高一下·邯郸月考) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的面积．

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20. (2024高一下·北京市期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 $\text{[math]}$ 存在，并完成下列两个问题．
条件①： $\text{[math]}$ 为奇函数；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上最小值为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
  条件①：对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立；
  条件②： $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ ．
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21. (2024高一下·北京市期中) 对于任意实数a，b，c，d，表达式 $\text{[math]}$ 称为二阶行列式，记作 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求下列行列式的值：
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$
2. （2）求证：向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线的充要条件是 $\text{[math]}$ ；
3. （3）讨论关于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的二元一次方程组 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
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