湖北省武汉市江汉区2025届高三7月新起点摸底考试数学试卷

更新时间：2024-11-18 浏览次数：2 类型：开学考试

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·江汉开学考) 已知全集 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·江汉开学考) 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位）是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·江汉开学考) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.8 B . 0.6 C . 0.4 D . 0.3

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4. (2024高三上·江汉开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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5. (2024高三上·江汉开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·江汉开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 6

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7. (2024高三上·江汉开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，则双曲线离心率的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·简阳月考) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.

9. (2024高三上·江汉开学考) 某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为 $\text{[math]}$ ；方差分别为 $\text{[math]}$ ，该班成绩的均分和方差为 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·江汉开学考) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，则下列曲线中存在两个不同的点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·江汉开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·江汉开学考) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是 $\text{[math]}$ 用数字作答 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·江汉开学考) 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .

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14. (2024高三上·江汉开学考) 将编号为 $\text{[math]}$ 的5个小球随机放置在圆周的5个等分点上，每个等分点上各有一个小球.则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·江汉开学考) 已知 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 边上的高等于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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16. (2024高三上·江汉开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间与极值；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称.证明：当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立.
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17. (2024高三上·江汉开学考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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18. (2024高三上·江汉开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 三点不共线，且 $\text{[math]}$ 的斜率满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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19. (2024高三上·江汉开学考) 若有穷数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称其为“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”.
1. （1）若“6阶 $\text{[math]}$ 数列”为等比数列，写出该数列的各项；
2. （2）若某“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”为等差数列，求该数列的通项 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示）；
3. （3）记“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列” $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，试问：数列 $\text{[math]}$ 能否为“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”？若能，求出所有这样的数列 $\text{[math]}$ ；若不能，请说明理由.
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