浙江省杭十四中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

更新时间：2024-11-18 浏览次数：4 类型：期末考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.

1. (2024高二上·杭州期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·杭州期末) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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3. (2024高二上·杭州期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·邯郸月考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二上·杭州期末) 中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（）

A . 76石 B . 77石 C . 78石 D . 79石

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6. (2024高二上·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 恰有三个极值点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二上·杭州期末) 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为 $\text{[math]}$ ，这里 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为两个底面面积， $\text{[math]}$ 为中截面面积， $\text{[math]}$ 为高．如图，已知多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长 $\text{[math]}$ 为的正方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该多面体的体积为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·杭州期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、多选题：本趣共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. (2024高二上·杭州期末) 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（）

A . 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B . 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C . 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 $\text{[math]}$ D . 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

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10. (2024高二上·杭州期末) 如图所示，在边长1为的正六边形 $\text{[math]}$ 中，下列说法正确的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·杭州期末) 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以 $\text{[math]}$ 分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以 $\text{[math]}$ 分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互斥 B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互独立 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2024高二上·杭州期末) 存在定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 满足（　　）

A . $\text{[math]}$ 是增函数， $\text{[math]}$ 也是增函数 B . $\text{[math]}$ 是减函数， $\text{[math]}$ 也是减函数 C . $\text{[math]}$ 是奇函数，但 $\text{[math]}$ 是偶函数 D . 对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，但 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高二上·杭州期末) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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14. (2024高二上·杭州期末) 已知直线l同时与圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 相切，请写出两条直线l的方程和．

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15. (2024高二上·杭州期末) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的准线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的焦点．若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为1，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2024高二上·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ 的图象既关于点 $\text{[math]}$ 对称，又关于直线 $\text{[math]}$ 轴对称．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2024高二上·杭州期末) 已知 $\text{[math]}$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求边b的值；
2. （2）若D为边BC的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2024高二上·杭州期末) 在长方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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19. (2024高二上·杭州期末) 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
30
10
40
乙校
20
20
40
合计
50
30
80
1. （1）依据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
2. （2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
  附：临界值表：
  α
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  x_α
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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20. (2024高二上·杭州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 中，对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为等差数列，求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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21. (2024高二上·杭州期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆上的两个动点，如果直线 $\text{[math]}$ 的斜率与 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数，证明直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值，并求出这个定值.
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22. (2024高二上·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ |与 $\text{[math]}$ |同时成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围
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