（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小
与r的关系；
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小
；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小随
的变化关系图像，如图所示。根据在
范围内的恒星角速度大小与距离r的倒数成正比，科学家预言螺旋星系周围（
）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量
。
（1）在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度
之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F；（忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力，用m，g，R，r，d表示）
（3）物体在引力场中具有的势能叫做引力势能。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为（式中G为引力常量，M为地球的质量，r为物体到地心的距离）。若让机械臂松开卫星，通过控制卫星上自带的火箭发动机，使卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为
的圆轨道，则在此过程中，万有引力对卫星做的功为多少？（用g、R、m、r、
表示）
（1）这颗卫星运行的运行速度大小v；
（2）这颗卫星绕地球做圆周运动的周期T；
（1）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
（2）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即 ， 比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为、周期为
；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为
、周期为
。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到
。请通过推导分析小明的观点是否正确。
（3）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能 ， 式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为 ， 由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为
。求：
a.时间t内空间站损失的机械能；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。
