北京市昌平区东方红学校2025届高三上学期开学考试数学试题

更新时间：2024-11-08 浏览次数：3 类型：开学考试

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. (2024高三上·绵阳月考) 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·昌平开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·昌平开学考) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是（）

A . 1 B . 4 C . 6 D . 0

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4. (2024高三上·昌平开学考) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零向量，则“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三上·昌平开学考) 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 所截得的弦长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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6. (2024高三上·昌平开学考) 将函数 $\text{[math]}$ 图象上的所有点向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴

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7. (2024高三上·昌平开学考) 若一圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·昌平开学考) 已知 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 的左支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2024高三上·昌平开学考) 函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），都有 $\text{[math]}$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·昌平开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 且互不相等，则使得指数函数 $\text{[math]}$ ，对数函数 $\text{[math]}$ ，幂函数 $\text{[math]}$ 中至少有两个函数在 $\text{[math]}$ 上单调递减的有序数对 $\text{[math]}$ 的个数是（）

A . 36 B . 42 C . 72 D . 84

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11. (2024高三上·成都月考) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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12. (2024高三上·昌平开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．

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13. (2024高三上·昌平开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·昌平开学考) 已知两点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是； $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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15. (2024高三上·昌平开学考) 若存在常数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对其公共定义域上的任意实数 $\text{[math]}$ 都满足： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 恒成立或（ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 恒成立），则称此直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“隔离直线”．已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有下列命题：
①直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“隔离直线”．
②若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“隔离直线”，则 $\text{[math]}$ 的范围为 $\text{[math]}$ ．
③存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有且仅有唯一的“隔离直线”．
④ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间一定存在“隔离直线”，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
其中所有正确命题的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. (2024高三上·昌平开学考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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17. (2024高三上·昌平开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在，并完成下列两个问题．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个零点；
  条件③： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. (2024高三上·昌平开学考) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 $\text{[math]}$ 以上（含 $\text{[math]}$ ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
1. （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
2. （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
3. （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
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19. (2024高三上·昌平开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 $\text{[math]}$ 时，求k的值．
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20. (2024高三上·昌平开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
3. （3）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．
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21. (2024高三上·昌平开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 $\text{[math]}$ 中任意两项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在一项 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

②对于 $\text{[math]}$ 中任意项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在两项 $\text{[math]}$ ．使得 $\text{[math]}$ ．

(Ⅰ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\text{[math]}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\text{[math]}$ 为等比数列.

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