江西省宜春市2024-2025学年高二上学期开学诊断考试数学...

更新时间：2024-11-08 浏览次数：1 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高二上·宜春开学考) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2024高二上·宜春开学考) 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为 $\text{[math]}$ ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 $\text{[math]}$ ，且该扇环的圆心角的弧度数为 $\text{[math]}$ ，则该扇环的外弧长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二上·宜春开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 1 B . 0 C . 2 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·宜春开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二上·宜春开学考) 已知 $\text{[math]}$ 均为锐角，若 $\text{[math]}$ 则p是q的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. (2024高二上·宜春开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 图象为 $\text{[math]}$ ，为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只要把 $\text{[math]}$ 上所有点（）

A . 先向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B . 先向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C . 先将横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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7. (2024高二上·宜春开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·宜春开学考) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 总有 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9. (2024高二上·宜春开学考) 有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（）

A . 这组数据的众数为4 B . 这组数据的极差为3 C . 这组数据的平均数为1.5 D . 这组数据的 $\text{[math]}$ 分位数为1

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10. (2024高二上·宜春开学考) 若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·宜春开学考) 半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（）

A . 该半正多面体的表面积为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ C . 该半正多面体外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高二上·宜春开学考) $\text{[math]}$ .

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13. (2024高二上·宜春开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线分别交直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2024高二上·宜春开学考) 如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处测得古树顶点 $\text{[math]}$ 的仰角分别为45°，45°，30°，若 $\text{[math]}$ 米，则该古树的高度为米.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高二上·宜春开学考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2024高二上·宜春开学考) 在如图所示的多面体 $\text{[math]}$ 中.四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，其对角线的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求多面体 $\text{[math]}$ 的体积.
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17. (2024高二上·宜春开学考) 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
1. （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
2. （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
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18. (2024高二上·宜春开学考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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19. (2024高二上·宜春开学考) 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，定义非零向量 $\text{[math]}$ 的“友函数”为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 称为函数 $\text{[math]}$ 的“友向量”.
1. （1）记 $\text{[math]}$ 的“友函数”为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“友向量”模长的最大值；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 的“友函数” $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得最大值.当点 $\text{[math]}$ 运动时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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