广东省茂名市高州市部分学校2024-2025学年上学期第六周...

更新时间：2024-10-31 浏览次数：0 类型：月考试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024九上·高州月考) 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（）

A . 二次项系数是2 B . 一次项系数是 $\text{[math]}$ C . 常数项是1 D . $\text{[math]}$ 是它的一个根

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2. (2024九上·高州月考) 已知菱形 $\text{[math]}$ 的面积为24，若对角线 $\text{[math]}$ ，则这个菱形的边长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. (2024九上·高州月考) 如图，在直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ ，点B的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. (2024九上·高州月考) 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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5. (2024九上·高州月考) 等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根，则k的值为（）

A . 30 B . 34或30 C . 36或30 D . 34

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6. (2024九上·茂名月考) 如图，公路 $\text{[math]}$ 互相垂直，公路 $\text{[math]}$ 的中点M与点C被湖隔开．若测得 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024九上·常州月考) “读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·高州月考) 关于x的方程 $\text{[math]}$ ，下列解法完全正确的是（）
甲
乙
丙
丁
两边同时除
以 $\text{[math]}$ 得
$\text{[math]}$
整理得 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
整理得 $\text{[math]}$ ，
配方得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
移项得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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9. (2024九上·高州月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E， F分别在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024九上·高州月考) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（）个
① $\text{[math]}$ ；②四边形ADFE是菱形；
③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. (2024九上·高州月考) 一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实根（填“相等”或“不等”）．

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12. (2024九上·高州月考) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，过点O作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024九上·高州月考) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根为 $\text{[math]}$ ，则另一个根 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2024九上·高州月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实根分别是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. (2024九上·高州月考) 上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $\text{[math]}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值最小，最小值是0，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值最小，最小值是1；
∴ $\text{[math]}$ 的最小值是1．
根据上述方法，解答问题：
知识运用：若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

16. (2024九上·高州月考) 解方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．（公式法）
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17. (2024九上·高州月考) 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E，F分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．

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18. (2024九上·高州月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为正整数，求此时方程的根．
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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. (2024九上·高州月考) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
2. （2）如果方程的两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求m的值.
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20. (2024九上·高州月考) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 的直线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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21. (2024九上·高州月考) 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍.
1. （1）求商家购买笔和圆规的进价；
2. （2）商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？
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五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．

22. (2024九上·高州月考) 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如 $\text{[math]}$ ，可变形为 $\text{[math]}$ ．如图1，构造一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为 $\text{[math]}$ ，也可表示为 $\text{[math]}$ ，由此可得新方程：（ $\text{[math]}$ ，易得这个方程的正数解为 $\text{[math]}$ ．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!
1. （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程 $\text{[math]}$ ，请将其解答过程补充完整：
  第一步：将原方程变为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （　　） $\text{[math]}$ ；
  第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
  第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为　　；
2. （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的正数解（用含b，的代数式表示）．
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23. (2024九上·高州月考) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F是对角线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若G，H分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点，则四边形 $\text{[math]}$ 一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
2. （2）在（1）条件下，若四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，求t的值；
3. （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，求t的值．
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