北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学...

更新时间：2024-11-21 浏览次数：1 类型：期中考试

一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）

1. (2024九上·北京市期中) 下面四个标志中是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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2. (2023九上·渠县期中) 方程 $\text{[math]}$ 的根是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. (2024九上·北京市期中) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为二次函数 $\text{[math]}$ 图象上的三点，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·余杭月考) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象的对称轴是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$

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5. (2024九上·北京市期中) 如图， $\text{[math]}$ 为⊙ $\text{[math]}$ 直径，点 $\text{[math]}$ 在⊙ $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024九上·北京市期中) 2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为 $\text{[math]}$ ，则可列关于 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024九上·北京市期中) 如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长 $\text{[math]}$ ，表盘的半径长为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·北京市期中) 某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为 $\text{[math]}$ ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）
A方案为一个封闭的矩形
B方案为一个等边三角形，并留一处 $\text{[math]}$ 宽的门
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留 $\text{[math]}$ 宽的门
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留 $\text{[math]}$ 宽的门

A . B . C . D .

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二、填空题（共16分，每题2分）

9. (2024九上·北京市期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．

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10. (2024九上·北京市期中) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为．

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11. (2024九上·北京市期中) 抛物线y＝x²－5x＋6与y轴交点的坐标是．

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12. (2024九上·北京市期中) 如图， $\text{[math]}$ 分別切⊙ $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作⊙ $\text{[math]}$ 的切线分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的周长为10，则切线长 $\text{[math]}$ 等于．

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13. (2024九上·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2024九上·北京市期中) “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图 $\text{[math]}$ 为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 $\text{[math]}$ ，开口 $\text{[math]}$ 宽为 $\text{[math]}$ ，这个水容器所能装水的最大深度是 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024九上·北京市期中) 二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，图象过点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，抛物线与y轴交点在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间（不与 $\text{[math]}$ 重合）．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；⑤a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论有（填序号）

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16. (2024九上·北京市期中) 如图，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）

17. (2024九上·北京市期中) 解下列方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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18. (2024九上·广州期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请在图中画出 $\text{[math]}$ ；
2. （2）线段 $\text{[math]}$ 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留 $\text{[math]}$ ）．
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19. (2024九上·北京市期中) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 内一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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20. (2024九上·北京市期中) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：该方程总有两个实数根；
2. （2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围．
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21. (2024九上·北京市期中) 已知：如图， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．

李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方一点）：

作法一（如图 $\text{[math]}$ ）	作法二（如图 $\text{[math]}$ ）
①接 $\text{[math]}$ ，作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ； ②以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 的长为半径作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ； ③作直线 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线．	①连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ； ②以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ； ③连接 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ； ④作直线 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 是的切线．

证明：如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 直径， ∴ $\text{[math]}$ ．（______） ∴ $\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的半径， ∴直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．	证明：……

请仔细阅读，并完成相应的任务：

（1） “作法一”中的“依据”是指______；
（2）请写出“作法二”的证明过程．

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22. (2024九上·北京市期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求这个二次函数的解析式；
2. （2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0
  $\text{[math]}$
  1
  2
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  0
  $\text{[math]}$
3. （3）若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象也经过 $\text{[math]}$ 两点，结合图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集．
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23. (2024九上·北京市期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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24. (2024九上·北京市期中) 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 $\text{[math]}$ 处，以点 $\text{[math]}$ 为原点，水平方向为 $\text{[math]}$ 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分，山坡 $\text{[math]}$ 上有一堵防御墙，其竖直截面为 $\text{[math]}$ ，墙宽 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
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25. (2024九上·北京市期中) 如图1，线段 $\text{[math]}$ 及一定点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，作直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ．小明根据学习函数的经验，分别对函数 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：
第一步：按照下表中自变量 $\text{[math]}$ 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值．
$\text{[math]}$
0
0.3
0.5
0.8
1
1.5
2
3
4
5
6
7
$\text{[math]}$
0
0.28
0.49
0.79
1
1.48
1.87
2.37
2.61
2.72
2.76
2.78
$\text{[math]}$
0
0.08
0.09
0.06
0
0.29
0.73
1.82
3.03
4.20
5.33
6.41
第二步：在同一平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，描出表中各组数值所对应的点 $\text{[math]}$ ，并画出函数 $\text{[math]}$ 的图象．
解决问题：
1. （1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数 $\text{[math]}$ 的图象；
2. （2）结合函数图象，解决问题：当 $\text{[math]}$ 中有一个角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度约为______ $\text{[math]}$ ．
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26. (2024九上·北京市期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的顶点坐标；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是抛物线上的两点．若对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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27. (2024九上·北京市期中) 已知，如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）用等式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．
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28. (2024九上·北京市期中) 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内的直线 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 作轴对称变换得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 作中心对称变换得到点 $\text{[math]}$ ，我们则称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的“正对称点”．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴和点 $\text{[math]}$ 的“正对称点”的坐标______；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，存在过原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的“正对称点”在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，且点 $\text{[math]}$ 的纵坐标小于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点在以 $\text{[math]}$ 为圆心1为半径的圆上，对于直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心，1为直径作圆 $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的“正对称点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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