广东省河源市和平县部分学校2024-2025学年高二上学期1...

更新时间：2024-12-13 浏览次数：2 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高二上·广东期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 11 B . 10 C . 9 D . 8

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2. (2024高二上·广东期中) 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -2 C . 2 D . 3

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3. (2024高二上·广东期中) 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的直线的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 3 D . 4

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4. (2024高二上·玉溪月考) 已知A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点不共线，点 $\text{[math]}$ 不在平面 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），若A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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5. (2024高二上·广东期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的非空真子集个数为（）

A . 32 B . 62 C . 64 D . 30

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6. (2024高二上·广东期中) 直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二上·广东期中) 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·广东期中) 棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，其内部和表面上存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高二上·广东期中) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的零点可以为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高二上·广东期中) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点位于直线 $\text{[math]}$ 上 D . $\text{[math]}$ 为方程 $\text{[math]}$ 的一个根

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11. (2024高二上·广东期中) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度可以为（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高二上·广东期中) 写出一个过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直线的两点式方程.

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13. (2024高二上·广东期中) 已知平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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14. (2024高二上·广东期中) $\text{[math]}$ 中，角A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. (2024高二上·广东期中) （1）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的截距式方程.

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16. (2024高二上·广东期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上投影向量的坐标；
2. （2）求以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边的平行四边形的面积.
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17. (2024高二上·广东期中) 如图，在棱长均为2的正四棱柱中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用空间向量法解决下列三个问题：
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的长度.
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18. (2024高二上·广东期中) 现定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为“正直点”.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积取得最小值时对应的周长；
3. （3）若A， $\text{[math]}$ 也为“整数点”，求直线 $\text{[math]}$ 的一般式方程.
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19. (2024高二上·广东期中) 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $\text{[math]}$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $\text{[math]}$ 的立体，若记 $\text{[math]}$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $\text{[math]}$ .
1. （1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
2. （2）建立空间直角坐标系 $\text{[math]}$ ，取球心为 $\text{[math]}$ ，且半径为1的球体，点 $\text{[math]}$ 为其表面上一点.若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，球体在点 $\text{[math]}$ 处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
  提示：①球面方程： $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 为球心坐标， $\text{[math]}$ 为球的半径；
  ②平面方程的点法式： $\text{[math]}$ ，其中平面过点 $\text{[math]}$ ，其法向量 $\text{[math]}$ .
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