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  • 1. (2020九上·甘州月考) 阅读下列材料,完成相应的任务

    数学活动课上,老师提出如下问题:

    如图①,在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=2,DC=4,BC=8,点P为BC边上的动点,求当BP的值是多少时,AP+DP有最小值,最小值是多少.

    小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究:

    小丽:设BP=x,则CP=8﹣x,根据勾股定理,可得AP+DP= .但没有办法继续求解.

    小明:利用轴对称作图,如图②,作点A关于直线BC的对称点A′,连接A′D,与BC交于点P,根据两点之间线段最短,将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.

    由△A′BP∽△DCP,得

    所以BP= .

    过点A′作A′H⊥DC,交DC的延长线于点H,再由勾股定理,可得A′D= =10.

    所以当BP= 时,AP+DP有最小值,最小值为10.

    任务:

    1. (1) 类比探究:对于函数y= ,当x=时,y有最小值,最小值为.
    2. (2) 应用拓展:如图③,若点D在BC上运动,AD⊥BC,AD=3,BC=5.连接AB,AC.求△ABC周长的最小值.

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