（问题情境）如图1，在中，，D是边上一点，过点D作交于点E，以D为顶点，为一边作，使其另一边与边交于点F，与交于点G．

1. (2021八下·锦州期末) （问题情境）
如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D是 $\text{[math]}$ 边上一点，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，以D为顶点， $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，使其另一边与 $\text{[math]}$ 边交于点F， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G．
1. （1）求证：G是 $\text{[math]}$ 的中点；
3. （2） M，N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求证：点G在线段 $\text{[math]}$ 上；
5. （3）（迁移拓展）
  如图2，已知D是长为4的线段 $\text{[math]}$ 上的动点（D不与A，B重合），分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边在线段 $\text{[math]}$ 的同侧作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，G为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
  
  ①请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；（不要求写解题过程）
  
  ②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．