对于正实数，熟知基本不等式：，其中为的算术平均数，为的几何平均数．现定义的对数平均数：

1. (2021高三上·宁波期末) 对于正实数 $\text{[math]}$ ，熟知基本不等式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的算术平均数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的几何平均数．现定义 $\text{[math]}$ 的对数平均数： $\text{[math]}$
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ：
3. （2） ①利用第（1）小问证明不等式： $\text{[math]}$ ：
  ②若不等式 $\text{[math]}$ 对于任意的正实数 $\text{[math]}$ 恒成立，求正实数 $\text{[math]}$ 的最大值．

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1. (2021高三上·宁波期末) 对于正实数 ， 熟知基本不等式： ， 其中 为的算术平均数， 为的几何平均数． 现定义的对数平均数：