【操作】如图①，在矩形中，E为对角线上的一点（不与点A重合）．将沿射线方向平移到的位置，点E的对应点为点F，易证：（不需要证明）；【探究】过图①的点E作，交的延长线于点G，连接，其他条件不变，如图②．求证：；【拓展】将图②中的

1. (2022八下·吉林月考) 【操作】如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中，E为对角线 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点A重合）．将 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移到 $\text{[math]}$ 的位置，点E的对应点为点F，易证： $\text{[math]}$ （不需要证明）；
【探究】过图①的点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ ，其他条件不变，如图②．求证： $\text{[math]}$ ；
【拓展】将图②中的 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，其他条件不变，如图③．当 $\text{[math]}$ 最短时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的周长．