【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，是的中点，，，A，三点共线求证：小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是由全等三角形、等腰三角形的性质可得【初步运

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1. (2024八上·宁波期末)
1. （1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
  如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， A ， $\text{[math]}$ 三点共线．
  求证： $\text{[math]}$ ．
  小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
  请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 $\text{[math]}$ ，依据是（）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
3. （2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得 $\text{[math]}$ ．
  【初步运用】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、点A ．求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， A ， $\text{[math]}$ 三点共线），连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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