综合与实践题—浙江省八（上）数学期末复习-在线组卷

1. (2024八上·嘉兴期末) 根据表中素材，探索完成以下任务：

建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”

问题情境

素材1

已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．

素材2

现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．

素材3

从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；

从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．

问题解决

分析

设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．

	运量（吨）		运费（元）
	甲仓库	乙仓库	甲仓库	乙仓库
A村	x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
B村	$\text{[math]}$	① ▲	$\text{[math]}$	② ▲

问题1

设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．

问题2

为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少 $\text{[math]}$ 元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）

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2. (2023八上·平湖期末) 现有斜边相等的一副三角板，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .某学习小组利用这副三角板进行数学探究时发现：若这副三角板按如图①或图②方式摆放，连结PC，则PA、PB与PC之间存在一定的数量关系.

（1）聪明的小嘉同学对图①开展了探究，他的思路：通过延长PA至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连结CM.然后证明 $\text{[math]}$ ，再证 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，从而获得 $\text{[math]}$ ，请你按照小嘉的思路写出完整的解题过程；
（2）若这副三角板按图②方式摆放，则上述PA、PB与PC之间的数量关系还成立吗？若不成立，请写出它们之间存在的数量关系，并说明理由.

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3. (2023八上·宁海期末) 定义：在任意 $\text{[math]}$ 中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为 $\text{[math]}$ ，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.

（1）【基础巩固】若 $\text{[math]}$ 是“倍角互余三角形”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）【尝试应用】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互余.求证： $\text{[math]}$ 是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问在边 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是“倍角互余三角形”？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

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4. (2023八上·长兴期末) 【问题背景】

（1）如图1，点P是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）【变式迁移】
如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上的高线，点E为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点F，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）【拓展创新】
如图3，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 中点，点E在线段 $\text{[math]}$ 上（点E不与点B，点D重合），连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

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5. (2023九下·宁波月考) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ .

（1）【初步尝试】
如图2，当 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度是，线段 $\text{[math]}$ 的长度是.
（2）【结论探究】
如图1，小宁猜想“ $\text{[math]}$ ”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如下表所示，请帮小宁完成证明.
如图，延长 $\text{[math]}$ 至G，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（3）【拓展应用】
如图3，当点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ .请补全图形，并求出当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长.

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6. (2024八上·海曙期末) 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

（1）概念理解：如图1．在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，说明 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF ，求证 $\text{[math]}$ ．
（3）拓展延伸：如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，连接AD ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

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7. (2024八上·嘉兴期末) 如图，在直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，直线l是第二、四象限的角平分线．

（1）操作：连结线段 $\text{[math]}$ ，作出线段 $\text{[math]}$ 关于直线l的轴对称图形 $\text{[math]}$ ．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点 $\text{[math]}$ 关于直线l的对称点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得 $\text{[math]}$ 最小，并写出点Q的坐标．

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8. (2024八上·上城期末) 综合与实践

生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度

素材1

如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．

素材2

对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，单层部分的长度是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，得到如下数据：

双层部分长度 $\text{[math]}$	2	6	10	14	$\text{[math]}$
单层部分长度 $\text{[math]}$	116	108	100	92	70

素材3

单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 $\text{[math]}$

素材4

小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为 $\text{[math]}$ ；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为 $\text{[math]}$ ，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的 $\text{[math]}$ ．

（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的 $\text{[math]}$ 为横坐标，以 $\text{[math]}$ 为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出 $\text{[math]}$ 值并确定 $\text{[math]}$ 的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为 $\text{[math]}$ ，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高 $\text{[math]}$ 与这款背包的背带双层部分的长度 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．

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9. (2023八上·柯桥期中)

（1）【问题发现】
如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝4，ED＝3，则BE=.
（2）【问题提出】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.
（3）【问题解决】
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC＝45°，△ACD面积为14且CD的长为7，求△BCD的面积.

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10. (2024八上·宁波期末)

（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， A ， $\text{[math]}$ 三点共线．
求证： $\text{[math]}$ ．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 $\text{[math]}$ ，依据是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得 $\text{[math]}$ ．
【初步运用】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、点A ．求证： $\text{[math]}$ ．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， A ， $\text{[math]}$ 三点共线），连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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11. (2024八上·东阳月考) 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

（1）特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高．若 $\text{[math]}$ ，试求线段 $\text{[math]}$ 的长度．
（2）深入探究
如图2，已知 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用
如图3，等腰 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，过点D向 $\text{[math]}$ 边引平行线与 $\text{[math]}$ 边交于点E ．若 $\text{[math]}$ ，试求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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12. (2024八上·舟山期末) 综合与实践：

数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角 $\text{[math]}$ 和等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图1．

独立思考：

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把 $\text{[math]}$ 旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 绕着点C旋转到某一位置时恰好有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①求 $\text{[math]}$ 的度数；
②线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点F ，求 $\text{[math]}$ 的值；
③若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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13. (2025八上·温州期中) 如图

（1）问题背景：如图 1，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
（2）类比探究：如图 2，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 B C上任意一点（不是 B C 中点），求证： $\text{[math]}$ .
（3）拓展应用：如图 3，在四边形 A B C D 中， $\text{[math]}$ ，求 B D 的长.