已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．

1. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ．按照如下方式依次构造点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 的左支交于点 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点，记 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
3. （2）证明：数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
5. （3）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $\text{[math]}$ ．