【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷

更新时间：2024-06-14 浏览次数：220 类型：高考真卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. (2024高三上·萍乡开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . 0 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. (2024高一下·德宏期末) 已知命题 $\text{[math]}$ ；命题 $\text{[math]}$ ．则（）．

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是真命题 B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是真命题 C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是真命题 D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是真命题

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3. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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4. (2024·新课标Ⅱ卷) 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量
[900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）.

A . 100块稻田亩产量的中位数小于 $\text{[math]}$ B . 100块稻田中亩产量低于 $\text{[math]}$ 的稻田所占比例超过 $\text{[math]}$ C . 100块稻田亩产量的极差介于 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 之间 D . 100块稻田亩产量的平均值介于 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$

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5. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知曲线 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴作垂线段 $\text{[math]}$ 为垂足，则线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·新课标Ⅱ卷) 设函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恰有一个交点，则 $\text{[math]}$ （）．

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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7. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知正三棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面ABC所成角的正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 3

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8. (2024·新课标Ⅱ卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．

9. (2024·新课标Ⅱ卷) 对于函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列正确的有（）．

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有相同的零点 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有相同的最大值 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有相同的最小正周期 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图像有相同的对称轴

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10. (2024·新课标Ⅱ卷) 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 上动点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的一条切线， $\text{[math]}$ 为切点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ．则（）．

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切 B . 当P，A，B三点共线时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 满足 $\text{[math]}$ 的点P有且仅有2个

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11. (2024高三上·建瓯月考) 设函数 $\text{[math]}$ ，则（）．

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有三个零点 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点 C . 存在a，b，使得 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的对称轴 D . 存在 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三上·岳麓月考) 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高二上·南宁月考) 已知 $\text{[math]}$ 为第一象限角， $\text{[math]}$ 为第三象限角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024·新课标Ⅱ卷) 在下图的 $\text{[math]}$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·建瓯月考) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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16. (2024高三上·建瓯月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有极小值，且极小值小于0，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2024·新课标Ⅱ卷) 如图，平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F满足 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿EF翻折至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
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18. (2024·新课标Ⅱ卷) 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为 $\text{[math]}$ ，各次投中与否相互独立．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
2. （2）假设 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
  （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
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19. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ．按照如下方式依次构造点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 的左支交于点 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点，记 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
2. （2）证明：数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $\text{[math]}$ ．
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