如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．

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1. (2024·长沙会考) 如图， $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）试探究 $\text{[math]}$ 之间的等量关系，并证明你的结论；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的内心为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在半圆上从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，求内心 $\text{[math]}$ 所经过的路径长．

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