2019年高考数学二轮复习专题09：立体几何

更新时间：2019-03-13 浏览次数：579 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2018·上海) 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A . 4 B . 8 C . 12 D . 16

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2. (2018高一上·民乐期中) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A . 3π B . 4π C . 2π+4 D . 3π+4

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3. (2019高三上·宁德期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列四个命题正确的是（）
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

A . B . C . D .

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4. (2019高三上·嘉兴期末) 某几何体的三视图如图所示（单位： $\text{[math]}$ ），则该几何体的体积（单位： $\text{[math]}$ ）是（）

A . B . 54 C . D . 108

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5. (2019高二上·哈尔滨期末) 已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为（）

A . 64 B . C . D . 128

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6. (2019高二上·诸暨期末) 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值等于（）

A . B . $\text{[math]}$ C . D .

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7. (2019高三上·宁德期中) 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是菱形且 $\text{[math]}$ 平面ABCD，则 $\text{[math]}$ 与BD所成的角是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . B . C . D .

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8. (2019高一上·兰州期末) 在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 $\text{[math]}$ ，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D .

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9. (2019高一上·兰州期末) 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A . B . C . D . $\text{[math]}$

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二、填空题

10. (2019高三上·长春期末) 如图，半球内有一内接正四棱锥 $\text{[math]}$ ，该四棱锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则该半球的体为.

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三、解答题

11. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．
（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；
（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．

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12. (2019高三上·宜宾期末) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 侧棱和底面垂直的棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 侧面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段AC、 $\text{[math]}$ 上分别有一点E、F且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点E到直线 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值．
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13. (2019高三上·浙江期末) 在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是等边三角形，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（I）求证： $\text{[math]}$ ；

（II）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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14. (2020高二上·武汉月考) 已知 $\text{[math]}$ 两两垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的长；

（Ⅱ）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

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15. (2019高三上·天津期末) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形.

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角.

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16. (2019高一上·衡阳期末) 在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H
1. （1）求证：截面EFGH为平行四边形
2. （2）若P、Q在线段BD、AC上， $\text{[math]}$ ，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH
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17. (2019高二上·哈尔滨期末) 如图，边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 所在的平面垂直于矩形 $\text{[math]}$ 所在的平面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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18. (2019高二上·双鸭山期末) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ °，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面 $\text{[math]}$ 的大小.
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19. (2019高一上·兰州期末) 如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．
1. （1）求证：BD⊥平面ECD；
2. （2）求D点到面CEB的距离．
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20. (2017高二上·晋中期末) 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$ ？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

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21. (2018高二上·黑龙江期中) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点M在边DC上，点F在边AB上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为E，若将 $\text{[math]}$ 沿AM折起，使点D位于 $\text{[math]}$ 位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得四棱锥 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，直线与平面ABCM所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面ABCM所成角的正弦值．

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22. (2017高三下·岳阳开学考) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

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23. (2019高二上·信丰月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值；
3. （3）在第（2）问条件下，设点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 取最大值时点 $\text{[math]}$ 的位置.
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