江苏省南通市2020届高三下学期数学4月高考模拟试卷

更新时间：2020-06-30 浏览次数：204 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2020·南通模拟) 设复数z满足 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则 $\text{[math]}$ .

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2. (2020·南通模拟) 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. (2020·南通模拟) 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为.

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4. (2020·南通模拟) 某学校从高三年级共 $\text{[math]}$ 名男生中随机抽取 $\text{[math]}$ 名测量身高．据测量被测学生身高全部介于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 $\text{[math]}$ [、第二组 $\text{[math]}$ 、…、第八组 $\text{[math]}$ ．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高 $\text{[math]}$ 以上（含 $\text{[math]}$ ）的人数为．

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5. (2020·南通模拟) 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是.

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6. (2020·南通模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，则其焦点到准线的距离为.

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7. (2020·南通模拟) 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $\text{[math]}$ =1渐近线的距离为．

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8. (2020·南通模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为2，锐角为 $\text{[math]}$ 的菱形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点M是 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

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9. (2020·南通模拟) 以抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为焦点，以直线 $\text{[math]}$ 为渐近线的双曲线标准方程为.

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10. (2020·南通模拟) 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 $\text{[math]}$ 倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是cm³.

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11. (2020·南通模拟) 设 $\text{[math]}$ 是R上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前8项和为．

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12. (2020·南通模拟) 过曲线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2020·盐城模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，过P点分别作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．

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14. (2020·南通模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若集合 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围为．

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二、解答题

15. (2020·南通模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆的半径为1，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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16. (2020·南通模拟) 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、F、E四点共面；
2. （2）若底面 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
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17. (2020·南通模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的定义域为R，求实数a的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，恒有不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数a的取值范围.
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18. (2020·南通模拟) 如图，墙上有一壁画，最高点 $\text{[math]}$ 离地面4米，最低点 $\text{[math]}$ 离地面2米，观察者从距离墙 $\text{[math]}$ 米，离地面高 $\text{[math]}$ 米的 $\text{[math]}$ 处观赏该壁画，设观赏视角 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 问：观察者离墙多远时，视角 $\text{[math]}$ 最大？
2. （2）若 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 变化时，求x的取值范围.
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19. (2020·南通模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率是e，定义直线 $\text{[math]}$ 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为 $\text{[math]}$ ，长轴长为4.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O： $\text{[math]}$ 的切线l，过点O且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.
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20. (2020·南通模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的奇数项是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，偶数项是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 恒成立，求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，且存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 最大时，数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
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21. (2020·南通模拟) 求矩阵 $\text{[math]}$ 的特征值及对应的特征向量.

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22. (2020·南通模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，求曲线C上的点到直线l的最大距离.

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23. (2020·南通模拟) 设x、y均为正数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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24. (2020·南通模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若点D是 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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25. (2020·南通模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的展开式中系数最大的项；
2. （2） $\text{[math]}$ 时，化简 $\text{[math]}$ ；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ .
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