江西省八所重点中学2021届高三理数4月联考试卷

更新时间：2021-05-20 浏览次数：177 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·江西模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 复数 $\text{[math]}$ 的实部为 $\text{[math]}$ B . 复数 $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ C . 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ D . 复数 $\text{[math]}$ 的模为 $\text{[math]}$

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2. (2021·江西模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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3. (2021·江西模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·江西模拟) 在区间 $\text{[math]}$ 上随机取两个数 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，则事件“ $\text{[math]}$ ”发生的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·江西模拟) 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·江西模拟) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内（）

A . 没有零点 B . 有且仅有1个零点 C . 至少有2个零点 D . 可能有无数个零点

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7. (2022·大庆三模) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含 $\text{[math]}$ 的项系数为（）

A . 45 B . -45 C . 120 D . -120

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8. (2021·江西模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左､右焦点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 右支上的一点.直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆在边 $\text{[math]}$ 上的切点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ､B､ $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ､b､ $\text{[math]}$ ，若角 $\text{[math]}$ ､C､ $\text{[math]}$ 成等差数列，角 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·江西模拟) 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $\text{[math]}$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $\text{[math]}$ ，记为第一次操作：再将剩下的两个区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于 $\text{[math]}$ ，则操作的次数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）(参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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11. (2021·江西模拟) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 16

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12. (2021·江西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 不可能有（）个相异实根.

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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二、填空题

13. (2021·江西模拟) 用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有个．（用数字作答）

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14. (2021·江西模拟) 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最短距离为.

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15. (2021·江西模拟) 给出下列命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角”的充分不必要条件；

③斜二测画法中边长为2的正方形的直观图的面积为 $\text{[math]}$ ；

④函数 $\text{[math]}$ 的最小值为4；

⑤已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

其中正确的有(填上你认为正确命题的序号)

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16. (2021·江西模拟) 平面向量 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. (2021高一下·辽宁期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 $\text{[math]}$ 的最大值为2；②函数 $\text{[math]}$ 的图象可由 $\text{[math]}$ 的图像平移得到；③函数 $\text{[math]}$ 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
1. （1）请写出这两个条件的序号，并求出 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的取值范围.
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18. (2021·江西模拟) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .左焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 外部，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ 的周长最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上关于原点对称的两个点， $\text{[math]}$ 为左顶点，若直线 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点，试判断以 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.
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20. (2021·江西模拟) 4月30日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 回答正确的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
1. （1）求甲同学能进入下一轮的概率；
2. （2）用 $\text{[math]}$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ .
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22. (2021·江西模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程和直线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正实数，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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