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上海市致远高中2020-2021学年高二上学期数学12月月考...

更新时间：2021-08-30 浏览次数：75 类型：月考试卷

一、填空题

1. (2020高二上·上海月考) 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为.

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2. (2020高二上·上海月考) 参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）的曲线的焦点坐标为．

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3. (2020高二上·上海月考) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离是．

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4. (2020高二上·上海月考) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点是 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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5. (2020高二上·上海月考) 方程 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线，则 $\text{[math]}$ 取值范围是．

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6. (2020高二上·上海月考) 已知双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ，则焦点到渐近线的距离为.

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7. (2020高二上·上海月考) 点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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8. (2020高二上·上海月考) 双曲线过 $\text{[math]}$ ，且渐近线夹角为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的标准方程为.

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9. (2020高二上·上海月考) 若顶点在原点的抛物线经过三个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有．

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10. (2020高二上·上海月考) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方）， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的准线，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为.

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11. (2020高二上·上海月考) 过抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点F作互相垂直的弦AB ， CD ，则四边形ACBD面积的最小值为．

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12. (2020高二上·上海月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，长轴长为4，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上．设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 长轴上的一个动点，过 $\text{[math]}$ 作方向向量 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 为．

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二、单选题

13. (2020高二上·上海月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的一个交点，则 $\text{[math]}$ 的形状是（）

A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 不能确定

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14. (2020高二上·上海月考) 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $\text{[math]}$ 于Q，则线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线（）．

A . 经过点O B . 经过点P C . 平行于直线 $\text{[math]}$ D . 垂直于直线 $\text{[math]}$

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15. (2020高二上·上海月考) 在直角坐标平面内， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个定点， $\text{[math]}$ 是动点，若 $\text{[math]}$ ，建立适当坐标系可得到点 $\text{[math]}$ 的轨迹为（）

A . 直线 B . 圆 C . 椭圆 D . 抛物线

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16. (2020高二上·上海月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .则下列命题不正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是椭圆，其焦点在 $\text{[math]}$ 轴上 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是圆，其半径为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是双曲线，其渐近线方程为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是两条直线

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三、解答题

17. (2020高二上·上海月考) 动点 $\text{[math]}$ 到定点 $\text{[math]}$ 与定直线 $\text{[math]}$ 的距离之和为4．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）在坐标系中画出 $\text{[math]}$ 的轨迹的大致图象（不用列表）；
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18. (2020高二上·上海月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上且在第一象限内， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于另一点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在 $\text{[math]}$ 轴上任取一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）动点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，“ $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离”等于“ $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离”的3倍，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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19. (2020高二上·上海月考) 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形 $\text{[math]}$ ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点 $\text{[math]}$ ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知梯形的高是40厘米， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离为40厘米．
1. （1）以 $\text{[math]}$ 为原点，梯形的上底所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，建立直角坐标系，求横梁 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
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20. (2020高二上·上海月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该双曲线交于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的横坐标之和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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21. (2020高二上·上海月考) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $\text{[math]}$ 就是其中之一（如图）．小明同学研究后得到3个结论：

结论①：曲线 $\text{[math]}$ 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．

小明的研究思路：把方程整理成关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 有解，故判别式大于等于0，求出 $\text{[math]}$ 的范围从而算出6个整数点．

结论②：曲线 $\text{[math]}$ 所围成的“心形”区域的面积小于3．

小明的研究思路：计算以上定点围成的面积进行观察．

结论③：曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点到原点的距高都不超过 $\text{[math]}$ ．

请你沿着小明的思路讨论结论①②是否正确，然后自己尝试研究结论③的正确性．

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