湖南省长沙市名校2022届高三上学期数学8月入学考试试卷

更新时间：2021-09-26 浏览次数：89 类型：开学考试

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. (2021高三上·长沙开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高三上·长沙开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·广安月考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高三上·长沙开学考) 把函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·疏勒模拟) 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高三上·长沙开学考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高三上·长沙开学考) 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A . 60种 B . 78种 C . 84种 D . 144种

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8. (2021高三上·长沙开学考) 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . -1 C . 21 D . 22

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2021高三上·长沙开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021高三上·长沙开学考) 下列命题为真命题的是（）

A . 对具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有一组观测数据 $\text{[math]}$ ，其线性回归方程是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ B . 从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为 $\text{[math]}$ C . 已知样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为4，则数据 $\text{[math]}$ 的标准差是4 D . 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2021高三上·长沙开学考) 以下四个命题表述正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ B . 圆 $\text{[math]}$ 上有且仅有3个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离都等于1 C . 曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 恰有三条公切线，则 $\text{[math]}$ D . 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 引两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点，则直线 $\text{[math]}$ 经过定点 $\text{[math]}$

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12. (2021高三上·长沙开学考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 内的动点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一条线段 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是异面直线 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不可能平行 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2021高三上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高三上·长沙开学考) 若点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2021高三上·长沙开学考) 已知F是抛物线C：y²=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．

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16. (2021高三上·长沙开学考) 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $\text{[math]}$ 棵树种植在点 $\text{[math]}$ 处，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 表示非负实数 $\text{[math]}$ 的整数部分，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .按此方案，

（ⅰ）第6棵树种植点的坐标应为；

（ⅱ）第2008棵树种植点的坐标应为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2021高三上·长沙开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$
1. （1）问数列 $\text{[math]}$ 是否为等差数列或等比数列？说明理由.
2. （2）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
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18. (2021高三上·长沙开学考) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
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19. (2021高三上·长沙开学考) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.
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20. (2021高三上·长沙开学考) 某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：

品牌

价格/（元/件）

使用寿命/月

甲

1000

7或8

乙

400

3或4

已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；
2. （2）现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）.试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
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21. (2021高三上·长沙开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距与椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距相等，且 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的对称中心，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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22. (2021高三上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）.
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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