北京市一七一中学2022届高三数学8月第一次月考试卷

更新时间：2021-09-16 浏览次数：118 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2021高三上·北京月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高三上·北京月考) 下列函数中，既是偶函数又在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高三上·北京月考) 某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数， $\text{[math]}$ )的关系为 $\text{[math]}$ ，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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4. (2022高二下·东丽期末) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . -5 B . 5 C . -10 D . 10

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5. (2021高三上·北京月考) 定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， f（7）=a ，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高三上·北京月考) “ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称”的（　　）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2021高三上·北京月考) 已知α∈(0，π)，且cosα＝－ $\text{[math]}$ ，则sin $\text{[math]}$ ·tan(π＋α)＝（）

A . － $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . － $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高三上·北京月考) “回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在四位数中，回文数共有（）

A . 81个 B . 90个 C . 100个 D . 900个

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9. (2022高二下·梧州期末) 大气压强 $\text{[math]}$ ，它的单位是“帕斯卡”（Pa ， 1Pa=1N/m²），大气压强 $\text{[math]}$ （Pa）随海拔高度 $\text{[math]}$ （m）的变化规律是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ m^-1）， $\text{[math]}$ 是海平面大气压强.已知在某高山 $\text{[math]}$ 两处测得的大气压强分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 550m B . 1818m C . 5500m D . 8732m

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10. (2021高三上·北京月考) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D，如果对任意 $\text{[math]}$ ，都存在唯一的 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （m为常数）成立，那么称函数 $\text{[math]}$ 在D上具有性质业 $\text{[math]}$ ．现有函数：
① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ ； ④ $\text{[math]}$ ．

其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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二、填空题

11. (2021高三上·北京月考) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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12. (2021高三上·北京月考) $\text{[math]}$ .

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13. (2021高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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14. (2021高三上·北京月考) 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $\text{[math]}$ 是定义在R上的函数，对于 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，若存在正整数k使得 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 存在唯一一个周期为1的周期点；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 存在周期为2的周期点；

③若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 不存在周期为3的周期点；

④若 $\text{[math]}$ ，则对任意正整数n ， $\text{[math]}$ 都不是 $\text{[math]}$ 的周期为n的周期点．

其中所有正确结论的序号是．

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15. (2021高三上·北京月考) 角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆的交点 $\text{[math]}$ 位于第一象限，其横坐标为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 沿单位圆逆时针运动到点 $\text{[math]}$ ，所经过的弧长为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的横坐标为．

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三、解答题

16. (2021高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 恒成立.
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17. (2021高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
3. （3）对于任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. (2021高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示.
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值.条件①：直线 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的图象的一条对称轴；条件②： $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的图象的一个对称中心
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19. (2021高三上·北京月考) 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；

（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）

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20. (2021高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
(I)当a=-1时，

①求曲线y= f(x)在点(0，f (0))处的切线方程；

②求函数f(x)的最小值；

(II)求证：当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且只有一个交点.

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21. (2021高三上·北京月考) 给定整数 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 每项均为整数，在 $\text{[math]}$ 中去掉一项 $\text{[math]}$ ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 $\text{[math]}$ . 将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的最小值称为数列 $\text{[math]}$ 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的特征值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列 $\text{[math]}$ 的特征值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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