上海市普陀区2022届高三数学一模试卷

更新时间：2022-01-20 浏览次数：130 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2022·普陀模拟) 若集合 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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2. (2022·普陀模拟) 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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3. (2022·普陀模拟) 设 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的实部与虚部的和为.

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4. (2022·普陀模拟) 设关于 $\text{[math]}$ 的二元一次方程组的增广矩阵为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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5. (2022·普陀模拟) 已知圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为.

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6. (2022·普陀模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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7. (2022·普陀模拟) 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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8. (2022·普陀模拟) 设无穷等比数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，前两项的和为 $\text{[math]}$ ，若所有奇数项的和比所有偶数项的和大3，则 $\text{[math]}$ .

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9. (2022高三上·重庆市月考) 设非空集合 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的偶子集，若集合 $\text{[math]}$ ，则其偶子集 $\text{[math]}$ 的个数为.

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10. (2022·普陀模拟) 由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量 $\text{[math]}$ （毫克/每立方米）与时间 $\text{[math]}$ （小时）成正比.药物释放完毕后， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 常数， $\text{[math]}$ ）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到 $\text{[math]}$ 毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

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11. (2022高一上·湖北期中) 设二次函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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12. (2022·普陀模拟) 若向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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二、单选题

13. (2022·普陀模拟) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的等差中项”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 非充分也非必要条件

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14. (2022·普陀模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的反函数是 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不能确定

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15. (2022·普陀模拟) 设点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右两焦点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的右支上的任意一点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可能是（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

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16. (2022·普陀模拟) 设函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上是单调函数，若函数 $\text{[math]}$ 有三个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. (2022·普陀模拟) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
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18. (2022·普陀模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为偶函数.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. (2022·普陀模拟) 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $\text{[math]}$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $\text{[math]}$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $\text{[math]}$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 平行，端点 $\text{[math]}$ 是该抛物线的顶点且为 $\text{[math]}$ 的中点，端点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
1. （1）求弯道段 $\text{[math]}$ 所确定的函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）绿地管理部门欲在弯道段 $\text{[math]}$ 上选取一点 $\text{[math]}$ 安装监控设备，使得点 $\text{[math]}$ 处监测 $\text{[math]}$ 段的张角 $\text{[math]}$ 最大，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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20. (2022·普陀模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 与定点 $\text{[math]}$ 的距离是点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的 $\text{[math]}$ 倍，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上关于原点 $\text{[math]}$ 对称的两点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）当四边形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2022·普陀模拟) 设 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 为常数，若存在大于1的整数 $\text{[math]}$ ，使得无穷数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”.
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，若首项为1的数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ （3）数列”，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若首项为1的等比数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并指出相应的 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，若首项为1的数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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