浙江省杭州市2021-2022学年高二下学期数学开学测试试卷

更新时间：2022-03-16 浏览次数：83 类型：开学考试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）

1. (2022高二下·杭州开学考) 直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是（）

A . (1，－2) B . (1，2) C . (2，－1) D . (2，1)

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2. (2022高二下·杭州开学考) 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高二下·沈阳期中) 在等比数列{a_n}(a_n∈R)中，若a₃a₅a₇a₉a₁₁＝243，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 9 B . 1 C . 2 D . 3

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4. (2022高二下·杭州开学考) 设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2022高二下·杭州开学考) 已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高二下·杭州开学考) 已知AB是椭圆 $\text{[math]}$ 一条弦，且弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二下·杭州开学考) 通项公式为a_n＝an²＋n的数列{a_n}，若满足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，且a_n＞a_n_＋₁对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·杭州开学考) 如图，设正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的侧面ADD₁A₁上的一个动点（含边界），M是棱CC₁的中点．若 $\text{[math]}$ ，则点P在侧面ADD₁A₁上运动路径的长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

9. (2022高二下·杭州开学考) 已知直线l：(a²＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（）

A . 当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B . 若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C . 直线l的倾斜角一定大于30° D . 当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等

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10. (2022高二下·杭州开学考) 已知圆O₁：x²＋y²－2x＝0和圆O₂：x²＋y²＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则有（）

A . 公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0 B . 公共弦AB的长为 $\text{[math]}$ C . 圆O₂上到直线AB距离等于1的点有且只有2个 D . P为圆O上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为 $\text{[math]}$

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11. (2022高二下·杭州开学考) 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a₁＝1， $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A . a₄＝2 B . {a_n}是周期数列 C . a₂₀₂₂＝2 D . S₁₈＝21

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12. (2022高二下·杭州开学考) 知圆O的半径为1，点A是圆O所在平面上的任意一点，点B是圆O上的任意一点，线段AB的垂直平分线交半径OB所在的直线于点P．当点B在圆上运动时，则下列说法中正确的是（）

A . 当点A与点O重合时，动点P的轨迹是一个圆 B . 当点A在圆内且不同于点O时，动点P的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大 C . 当点A在圆上且不同于点B时，动点P的轨迹不存在 D . 当点A在圆外时，动点P的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. (2022高二下·杭州开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ (a＞0，b＜0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．

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14. (2022高二上·武冈期中) 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ =．

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15. (2022高二下·杭州开学考) 在数列{a_n}中，S_n为它前n项和，已知a₂＝1，a₃＝6，且数列{a_n+n}是等比数列，则S_n＝．

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16. (2022高二下·杭州开学考) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ (x， y∈R)的最小值是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. (2022高二下·杭州开学考) 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，且满足 ▲ （从下列三个条件中任选一个，

填上序号：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）则可求出 $\text{[math]}$ 的值；并求出 $\text{[math]}$ 的大小．

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18. (2022高二下·杭州开学考) 设点O为坐标原点，曲线 $\text{[math]}$ 上有两点P，Q满足关于直线 $\text{[math]}$ 对称，又满足 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求直线PQ的方程．

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19. (2022高二下·杭州开学考) 已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且2a₁S_n＝a_n²＋a_n ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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20. (2022高二下·杭州开学考) 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $\text{[math]}$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．

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21. (2022高二下·杭州开学考) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝ $\text{[math]}$ ，四边形ACFE是矩形，且AE＝2， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；

（Ⅱ）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．

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22. (2022高二下·杭州开学考) 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 $\text{[math]}$ ，且长轴长与短轴长的比是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．

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