浙江省湖州市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-03-11 浏览次数：107 类型：期末考试

一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 关于平面 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为正数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 2 C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，则正数 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 3 B . 4 C . 9 D . 21

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，则k的值是（）.

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ （）

A . 是等比数列，但不是等差数列 B . 是等差数列，但不是等比数列 C . 是等比数列，也是等差数列 D . 既不是等差数列，也不是等比数列

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6. 已知圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，则圆 $\text{[math]}$ 上到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1的点的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 在棱长为1的正四面体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度都为最短时， $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，过其右焦点 $\text{[math]}$ 作渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交另一条渐近线于点A.已知 $\text{[math]}$ 为原点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4a B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3a

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二、多选题

9. 已知直线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 C . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等

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10. 已知圆 $\text{[math]}$ 的半径为定长 $\text{[math]}$ ，A是圆 $\text{[math]}$ 所在平面内一个定点， $\text{[math]}$ 是圆上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 和直线OP相交于点 $\text{[math]}$ .当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，下列判断正确的是（）

A . 点Q的轨迹可能是椭圆 B . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹可能是双曲线的一支 C . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹可能是抛物线 D . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹可能是一个定点

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11. 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 中，以顶点 $\text{[math]}$ 为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的正该值是 $\text{[math]}$ D . 直线AB与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$

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12. 设 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列选项中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为 $\text{[math]}$ 的最大值 C . 存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2022·松江模拟) 若抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离是4，则点 $\text{[math]}$ 到该抛物线焦点的距离是.

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15. (2018高三上·双鸭山月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知单位空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若空间向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对于任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值是2，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，数列 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
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18. 如图，一个湖的边界是圆心为 $\text{[math]}$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $\text{[math]}$ ，湖上有桥AB（AB是圆 $\text{[math]}$ 的直径）.规划在公路 $\text{[math]}$ 上选两个点 $\text{[math]}$ ､Q，并修建两段直线型道路PB､ $\text{[math]}$ .规划要求，线段 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 上的所有点到点 $\text{[math]}$ 的距离均不小于圆 $\text{[math]}$ 的半径.已知点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ 和BD（ $\text{[math]}$ 为垂足），测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （单位：百米）.
1. （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
2. （2）在规划要求下，点Q能否选在D处？并说明理由.
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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线C交于A，B两点.请判断 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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20. (2021高三上·潍坊期中) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 内的射影恰好是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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21. 某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A， $\text{[math]}$ 两个等级，其中 $\text{[math]}$ 等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分 $\text{[math]}$ 等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的 $\text{[math]}$ 等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成 $\text{[math]}$ 等设备.
1. （1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
2. （2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A、B两点，线段AB的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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