2012年高考理数真题试卷（湖南卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：533 类型：高考真卷

一、选择题

1. (2012·湖南理) 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=（）

A . {0} B . {0，1} C . {﹣1，1} D . {﹣1，0，1}

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2. (2012·湖南理) 命题“若α= $\text{[math]}$ ，则tanα=1”的逆否命题是（）

A . 若α≠ $\text{[math]}$ ，则tanα≠1 B . 若α= $\text{[math]}$ ，则tanα≠1 C . 若tanα≠1，则α≠ $\text{[math]}$ D . 若tanα≠1，则α= $\text{[math]}$

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3. (2012·湖南理)
某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

A . B . C . D .

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4. (2012·湖南理) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）

A . y与x具有正的线性相关关系 B . 回归直线过样本点的中心（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

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5. (2012·湖南理) 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2012·湖南理) 函数f（x）=sinx﹣cos（x+ $\text{[math]}$ ）的值域为（）

A . [﹣2，2] B . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [﹣1，1] D . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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7. (2012·湖南理) 在△ABC中，AB=2，AC=3， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1，则BC=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2012·湖南理) 已知两条直线l₁：y=m和l₂：y= $\text{[math]}$ （m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时， $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 16 $\text{[math]}$ B . 8 $\text{[math]}$ C . 8 $\text{[math]}$ D . 4 $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2012·湖南理) 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C₁： $\text{[math]}$ （t为参数）与曲线C₂： $\text{[math]}$ （θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．

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10. (2012·湖南理) 不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．

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11. (2012·湖南理)
如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于．

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12. (2012·湖南理) 已知复数z=（3+i）²（i为虚数单位），则|z|=．

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13. (2022·贵州模拟) （ $\text{[math]}$ ）⁶的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．

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14. (2012·湖南理)
如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=

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15. (2012·湖南理)
函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ= $\text{[math]}$ ，点P的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），则ω=；
（2）若在曲线段 $\text{[math]}$ 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为．

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16. (2012·湖南理) 设N=2ⁿ（n∈N^* ， n≥2），将N个数x₁ ， x₂ ， …，x_N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\text{[math]}$ 和后 $\text{[math]}$ 个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N_﹣₁x₂x₄…x_N ，将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段 $\text{[math]}$ 个数，并对每段作C变换，得到P₂ ，当2≤i≤n﹣2时，将P_i分成2ⁱ段，每段 $\text{[math]}$ 个数，并对每段作C变换，得到P_i+1 ，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈ ，此时x₇位于P₂中的第4个位置．
（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第个位置；
（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第个位置．

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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2012·湖南理) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量
1至4件
5 至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
1. （1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
2. （2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
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18. (2012·湖南理)
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
1. （1）证明：CD⊥平面PAE；
2. （2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
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19. (2012·湖南理) 已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n ， B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1 ， C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2 ， n=1，2，…．
1. （1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．
2. （2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．
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20. (2012·湖南理) 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．
1. （1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
2. （2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
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21. (2012·湖南理) 在直角坐标系xOy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x﹣5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
1. （1）求曲线C₁的方程
2. （2）设P（x₀ ， y₀）（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
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22. (2012·湖南理) 已知函数f（x）=e^ax﹣x，其中a≠0．
1. （1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
2. （2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁ ， x₂），使f′（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．
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试卷信息

小学

初中

高中

2012年高考理数真题试卷（湖南卷）

副标题：

*注意事项：

2012年高考理数真题试卷（湖南卷）

试题分析

总体分析

题量分析

难度分析

知识点分析

一次性购物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3