北京市西城区2022届高三数学二模试卷

更新时间：2022-07-26 浏览次数：87 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·西城模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·西城模拟) 已知双曲线的焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，双曲线上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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3. (2022·西城模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列，首项 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. (2022·西城模拟) 下列函数中，与函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性相同，且在 $\text{[math]}$ 上有相同单调性的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二上·海淀期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. (2022·西城模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是单位向量，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022·西城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2022·西城模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，记关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的所有实数根的乘积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 有最大值，无最小值 B . 有最小值，无最大值 C . 既有最大值，也有最小值 D . 既无最大值，也无最小值

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9. (2022·西城模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域和值域的交集为空集，则正数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·西城模拟) 如图为某商铺 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知 $\text{[math]}$ 商品卖出一件盈利20元， $\text{[math]}$ 商品卖出一件盈利10元.图中点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的纵坐标分别表示 $\text{[math]}$ 商品2022年前3个月的销售量，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的纵坐标分别表示 $\text{[math]}$ 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（）
①2月 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品的总销售量最多；②3月 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品的总销售量最多；③1月 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品的总利润最多；④2月 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品的总利润最多.

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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二、填空题

11. (2022·西城模拟) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为21，则 $\text{[math]}$ .

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12. (2022·西城模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为.

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13. (2022·西城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为16，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列.若集合 $\text{[math]}$ 中恰有3个元素，则符合题意的 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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14. (2022·西城模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的高为1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥 $\text{[math]}$ 可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距离都相等的点；
③可能有平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
④四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的取值范围是 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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15. (2022·西城模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，则焦点到准线的距离为；直线 $\text{[math]}$ 与抛物线分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方），过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线交准线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

16. (2022·西城模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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17. (2022·西城模拟) 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，选考1分钟跳绳的比例分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
1. （1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
2. （2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；
3. （3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 $\text{[math]}$ ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.（结论不需要证明）
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18. (2022·西城模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为4的菱形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上动点（不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.条件①：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .
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19. (2022·西城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求证： $\text{[math]}$ 有唯一的极值点 $\text{[math]}$ ；
  ②记 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？说明理由.
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20. (2023高二上·海淀期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过椭圆 $\text{[math]}$ 的上、下顶点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程和焦距；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 上的动点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不在坐标轴上），且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .求线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值.
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21. (2022·西城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是给定的正整数，且 $\text{[math]}$ .令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .这里， $\text{[math]}$ 表示括号中各数的最大值， $\text{[math]}$ 表示括号中各数的最小值.
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ ：2，0，2，1，-4，2，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 是公差 $\text{[math]}$ 的等差数列，数列 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中所有项的一个排列，求 $\text{[math]}$ 的所有可能值（用 $\text{[math]}$ 表示）.
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