广东省东莞市2023届高三上学期数学期末试卷

更新时间：2023-01-11 浏览次数：57 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高三上·东莞期末) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·东莞期末) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. (2024高一下·重庆市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 3 B . 4 C . 15 D . 21

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4. (2023高三上·东莞期末) 如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·东莞期末) 已知F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·东莞期末) 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·东莞期末) 已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为 $\text{[math]}$ ，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·东莞期末) 已知实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则下列选项中一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·东莞期末) 已知二项式 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等 B . 该二项展开式中不含有理项 C . 该二项展开式中的常数项是1 D . 该二项展开式中含x的项系数是 $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·东莞期末) 已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·东莞期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 平行 C . 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直 D . 点C和点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等

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12. (2023高三上·东莞期末) 已知直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高三上·东莞期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023高三上·东莞期末) 设 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2023高三上·东莞期末) 已知点P为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为A、B，且 $\text{[math]}$ ，则动点P的轨迹的长度为．

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16. (2023高三上·东莞期末) 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 $\text{[math]}$ ，记能将该三角垛完全放入的四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. (2023高三上·东莞期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且对于任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记数列 $\text{[math]}$ 的前n项中的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前20项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023高三上·东莞期末) 已知在锐角 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. (2023高三上·东莞期末) 如图， $\text{[math]}$ 为半球 $\text{[math]}$ 的直径，C为 $\text{[math]}$ 上一点，P为半球面上一点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．
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20. (2023高三上·东莞期末) 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（ $\text{[math]}$ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ $\text{[math]}$ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
1. （1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
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21. (2023高三上·东莞期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的左右焦点，点 $\text{[math]}$ 在双曲线E上，O为坐标原点．
1. （1）求双曲线E的标准方程；
2. （2）若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作直线l的垂线，垂足为P，Q，求 $\text{[math]}$ 面积最大值．
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22. (2023高三上·东莞期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的导函数），求实数a的取值范围．
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