重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期数学期...

更新时间：2024-06-27 浏览次数：8 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高一下·重庆市期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -3 C . -2 D . -1

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2. (2024高一下·重庆市期中) 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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3. (2024高一下·重庆市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角为60°， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·重庆市期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 3 B . 4 C . 15 D . 21

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5. (2024高一下·重庆市期中) 在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体 $\text{[math]}$ ，若四面体 $\text{[math]}$ 外接球的球心为O ，当四面体 $\text{[math]}$ 的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·重庆市期中) 已知 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 两边 $\text{[math]}$ 的距离都为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到面 $\text{[math]}$ 的距离（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·大理期末) 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B . 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是勒洛四面体 $\text{[math]}$ 表面上的任意两点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 勒洛四面体 $\text{[math]}$ 的体积是 $\text{[math]}$ D . 勒洛四面体 $\text{[math]}$ 内切球的半径是 $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·重庆市期中) 在△ABC中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. (2024高一下·南明月考) 下列命题中，真命题为（）

A . 复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数的充要条件是 $\text{[math]}$ B . 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ C . 复数 $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ D . 复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·重庆市期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A . 一定存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立 B . 若 $\text{[math]}$ ，那么一定有 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 一定相互平行

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11. (2024高一下·重庆市期中) 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成大小为 $\text{[math]}$ 的二面角 $\text{[math]}$ ，若折成的四面体 $\text{[math]}$ 内接于球 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）．

A . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的表面积的最大值是 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高一下·重庆市期中) 复数 $\text{[math]}$ 的模是．

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13. (2024高一下·重庆市期中) 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是.

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14. (2024高一下·大理月考) 已知平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024高三上·东阳开学考) 在△ABC中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为BC的中点，求AD的长.
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16. (2024高一下·重庆市期中) 设复数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点在实轴上，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求 $\text{[math]}$ .
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17. (2024高一下·重庆市期中) 已知正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M ， N分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求点M到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）判断 $\text{[math]}$ ， M ， B ， N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
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18. (2024高一下·重庆市期中) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形．
1. （1）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. (2024高一下·重庆市期中) $\text{[math]}$ 个有次序的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所组成的有序数组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 称为一个 $\text{[math]}$ 维向量，其中 $\text{[math]}$ ， 2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 称为该向量的第 $\text{[math]}$ 个分量．特别地，对一个 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 维信号向量．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的内积定义为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
2. （2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 个两两垂直的2024维信号向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足它们的前 $\text{[math]}$ 个分量都是相同的，求证： $\text{[math]}$ ．
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