广东省深圳市南山区2023届高三上学期数学期末试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：59 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高三上·南山期末) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·南山期末) 命题“存在无理数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是有理数”的否定为（）

A . 任意一个无理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都不是有理数 B . 存在无理数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 不是有理数 C . 任意一个无理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是有理数 D . 不存在无理数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是有理数

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3. (2023高三上·南山期末) 若 $\text{[math]}$ 的展开式的各项系数和为8，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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4. (2023高二下·河东期中) 已知随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下：
$\text{[math]}$
1
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·南山期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·南山期末) 在 $\text{[math]}$ 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为 $\text{[math]}$ ，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（）

A . 0.032 B . 0.048 C . 0.05 D . 0.15

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7. (2023·天河模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·南山期末) 已知交于点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相互垂直，且均与椭圆 $\text{[math]}$ 相切，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的上顶点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2024高一下·江川月考) 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 是纯虚数 B . $\text{[math]}$ 对应的点位于第二象限 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·天河模拟) 下列等式能够成立的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·南山期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上运动，平行四边形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）

A . 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为2 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积可能为 $\text{[math]}$

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12. (2023·天河模拟) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 可能与平面 $\text{[math]}$ 相交 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 与三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积之和为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大 D . 当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高三上·南山期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023高三上·南山期末) 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. (2023高三上·南山期末) 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2023高三上·南山期末) 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. (2023·天河模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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18. (2023高三上·南山期末) 某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
1. （1）请完成下表，并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
  性别
  体质测试
  合计
  优良
  非优良
  男生
  女生
  合计
2. （2） 100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.
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19. (2023高三上·南山期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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20. (2023高三上·南山期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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21. (2023·天河模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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22. (2023·天河模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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