2023年高考数学真题分类汇编3：数列、平面向量

更新时间：2023-07-17 浏览次数：65 类型：二轮复习

一、填空题

1. (2025·) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公比为．

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2. (2023·天津卷) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 可用 $\text{[math]}$ 表示为；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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3. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. (2023·上海卷) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

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5. (2023·上海卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

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6. (2025·) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

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二、选择题

7. (2023·全国甲卷) 已知正项等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 9 C . 15 D . 30

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8. (2023·全国甲卷) 向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2025·) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2025·) 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 25 B . 22 C . 20 D . 15

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11. (2024高二上·重庆市开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023·天津卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 18 C . 54 D . 152

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13. (2025·) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . －1 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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14. (2023·全国乙卷) 已知 $\text{[math]}$ 的半径为1，直线PA与 $\text{[math]}$ 相切于点A，直线PB与 $\text{[math]}$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2025·) 正方形 $\text{[math]}$ 的边长是2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 5

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16. (2023·新高考Ⅱ卷) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . 120 B . 85 C . -85 D . $\text{[math]}$ 120

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17. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，设甲：{a_n}为等差数列；乙： $\text{[math]}$ 为等差数列，则（）

A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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18. (2023·新高考Ⅰ卷) 已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（）

A . λ+µ=1 B . λ+µ=−1 C . λµ=1 D . λµ=−1

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三、解答题

19. (2023·全国甲卷) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 前n项和， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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20. (2023·天津卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式和 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为等比数列，对于任意 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
  （Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
  
  （Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 的通项公式及其前 $\text{[math]}$ 项和．
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21. (2023·全国乙卷) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积。
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22. (2023·全国乙卷) 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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23. (2023·上海卷) 已知 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则继续，若 $\text{[math]}$ 则停止，以此类推得到数列 $\text{[math]}$ .
1. （1）若正整数 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正整数 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 大小；
3. （3）若正整数 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.
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24. (2023·新高考Ⅱ卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式.
2. （2）证明：当n>5时， $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ .
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25. (2023·新高考Ⅰ卷) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 分别为数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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26. (2023·新高考Ⅰ卷) 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
1. （1）求第2次投篮的人是乙的概率；
2. （2）求第i次投篮的人是甲的概率；
3. （3）已知：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从两点分布，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，记前 $\text{[math]}$ 次 (即从第1次到第 $\text{[math]}$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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