上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

更新时间：2023-09-26 浏览次数：66 类型：期末考试

一、填空题

1. (2023高一下·闵行期末) 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期是．

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2. (2023高一下·闵行期末) 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. (2023高一下·闵行期末) 已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=.

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4. (2023高一下·闵行期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ .

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5. (2023高一下·闵行期末) 若函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. (2023高一下·闵行期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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7. (2023高一下·闵行期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的数量投影为.

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8. (2023高一下·闵行期末) 若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ ．

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9. (2023高一下·闵行期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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10. (2023高一下·闵行期末) 在平面直角坐标系中，角 $\text{[math]}$ 的终边与角 $\text{[math]}$ 的终边关于 $\text{[math]}$ 轴对称．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. (2023高一下·闵行期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 取一切正整数.函数 $\text{[math]}$ 的图像与直线 $\text{[math]}$ 恰有24个交点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. (2023高一下·闵行期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互不相等，且 $\text{[math]}$ .若对任意的 $\text{[math]}$ ，均满足 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为.

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二、单选题

13. (2023高一下·闵行期末) 复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023高一下·闵行期末) 下列命题中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. (2023高一下·闵行期末) 某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；

若存在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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16. (2023高一下·闵行期末) 在复平面上，设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 对应的复数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 由 $\text{[math]}$ 连续变到 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ 所扫过的图形区域的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. (2023高一下·闵行期末) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）试用 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023高一下·闵行期末) 欧拉公式 $\text{[math]}$ 将自然对数的底数 $\text{[math]}$ ，虚数单位 $\text{[math]}$ ，三角函数 $\text{[math]}$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. (2023高一下·闵行期末) 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地 $\text{[math]}$ 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在扇形 $\text{[math]}$ 的弧上，点 $\text{[math]}$ 在半径 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 米时，求分隔栏 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值.
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20. (2023高一下·闵行期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别求满足下列条件的函数 $\text{[math]}$ 的解析式.
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个相异零点， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后关于 $\text{[math]}$ 轴对称.
3. （3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意的实数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ .
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21. (2023高一下·闵行期末) 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $\text{[math]}$ 看作一个向量，记 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，我们有如下运算法则：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .
2. （2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
  ① $\text{[math]}$
  ② $\text{[math]}$
  ③ $\text{[math]}$ .
  试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对于任意的 $\text{[math]}$ ，求出满足条件 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，并将此时的 $\text{[math]}$ 记为 $\text{[math]}$ ，证明对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立.
  根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
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