上海市曹杨第二中学2023-2024学年高三上册数学开学考试...

更新时间：2024-07-31 浏览次数：58 类型：开学考试

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. (2023高三上·上海市开学考) 过P（﹣2，m）、Q（m ， 4）两点的直线的倾斜角为45° ．

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2. (2023高三上·上海市开学考) 若集合A＝{x|3x2﹣14x+16≤0}， $\text{[math]}$ ，则A∩B＝．

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3. (2023高三上·上海市开学考) 双曲线4x2﹣y2＝1的一条渐近线与直线tx+y+1＝0垂直，则t＝．

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4. (2023高三上·上海市开学考) 如图为函数f（x）的图象，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式 $\text{[math]}$ <0的解集为．

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5. (2023高三上·上海市开学考) “m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的条件．

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6. (2023高三上·上海市开学考) 若曲线y=e^﹣^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为．

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7. (2023高三上·上海市开学考) 若函数 $\text{[math]}$ 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是．

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8. (2023高三上·上海市开学考) 已知圆C₁：x2+y2＝4和圆C₂：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点 $\text{[math]}$ 且与C₁ ， C₂都相切的直线方程为．

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9. (2023高三上·上海市开学考) 如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到目球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道1上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道2的离心率为。（用R、r表示）．

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10. (2023高三上·上海市开学考) 已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数 $\text{[math]}$ ，则PQ连线的斜率的取值范围是．

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11. (2023高三上·上海市开学考) 已知抛物线C：x²＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A、B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为．

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12. (2023高三上·上海市开学考) 已知实数a ， b ， c满足：a+b+c＝0与a2﹣bc＝3，则abc的取值范围为．

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二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. (2023高三上·上海市开学考) 已知f（x）是定义在R上的可导函数，若 $\text{[math]}$ ，则f′（2）＝（）

A . ﹣1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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14. (2023高三上·上海市开学考) 已知三条直线l₁：x﹣2y+2＝0，l₂：x﹣2＝0，l₃：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 无数个

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15. (2023高三上·上海市开学考) 已知函数f（x）的导函数f′（x）满足f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，则下列判断一定正确的是（）

A . 0＜f（0）＜2f（1） B . f（0）＜0＜2f（1） C . 0＜2f（1）＜f（0） D . 2f（1）＜0＜f（0）

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16. (2023高三上·上海市开学考) 已知抛物线y²＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点

①A'F⊥B'F；

②AM⊥BM；

③A'F∥BM；

④A'F与AM的交点在y轴上；

⑤AB'与A'B交于原点．

其中真命题的个数为（）

A . 1个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. (2023高三上·上海市开学考) 已知全集U＝R ，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
1. （1）求A∪B；
2. （2）设集合D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围．
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18. (2023高三上·上海市开学考) 已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．
1. （1）求圆C的方程；
2. （2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P ， Q两点 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．
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19. (2023高三上·上海市开学考) 某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设x（x∈N）块球场时（单位：元）可近似地用函数
关系式 $\text{[math]}$ 来刻画
1. （1）请写出当网球中心建设x（x∈N）块球场时，该工程每平方米的综合费用g（x），并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
2. （2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
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20. (2023高三上·上海市开学考) 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ _，点A是椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点，过点A的直线l交椭圆C₁于点B，交抛物线C₂于点M（B、M不同于A）．
1. （1）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
2. （2）若直线l过椭圆的右焦点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程；
3. （3）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
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21. (2023高三上·上海市开学考) 已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax²+b，（a，b∈R）．
1. （1） g（1）＝f（0），g'（1）=f（0），求实数a，b的值；
2. （2）若a＝1，b＝2，且不等式f（x）≥kg（e^-x+2）﹣2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
3. （3）设b＝2，试利用结论ex+e﹣x≥x²+2，证明：若θ₁ ， θ₂ ， …，θ_n∈（0， $\text{[math]}$ ），其中n≥2，n∈N*，则f（sinθ₁）•f（cosθ_n）+f（sinθ₂）•f（cosθ_n_﹣1）+…+f（sinθ_n_﹣1）•f（cosθ₂）+f（sinθ_n）•f（cosθ₁）＞6n．
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