陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期数学10月...

更新时间：2023-12-19 浏览次数：13 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2023高二上·长安月考) 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 10 C . 8 D . 4

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2. (2023高二上·长安月考) 如图，设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·长安月考) 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高二上·长安月考) 已知平行六面体 $\text{[math]}$ 的各棱长均为1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二上·长安月考) 已知经过点 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二上·长安月考) 在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高二上·长安月考) 已知正四面体ABCD ， M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·长安月考) 正方体 $\text{[math]}$ 棱长为2， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 内一点（包含边界），且 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高二上·长安月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为钝角 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为 $\text{[math]}$

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10. (2023高二上·长安月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两共面，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 C . 对于空间的任意一个向量 $\text{[math]}$ ，总存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是空间的一组基底，则 $\text{[math]}$ 也是空间的一组基底

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11. (2023高二上·长安月考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为定值 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为定值

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12. (2023高二上·长安月考) 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为正方形A₁B₁C₁D₁上的动点，则（）

A . 满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ B . 满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ C . 存在唯一的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ D . 存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高二上·长安月考) 试写出一个点 $\text{[math]}$ 的坐标：，使之与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线．

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14. (2023高二上·长安月考) 已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是空间相互垂直的单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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15. (2023高二上·长安月考) 已知梯形ABCD和矩形CDEF ．在平面图形中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 面DBN ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、双空题

16. (2023高二上·长安月考) 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， N，G分别在棱 $\text{[math]}$ ， AC上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面MNG与AB交于点H，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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五、解答题

17. (2023高二上·长安月考) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 方向上的单位向量为基底，求 $\text{[math]}$ ．

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六、证明题

18. (2023高二上·长安月考) 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ，点E ， F ， G ， H分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面．

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七、解答题

19. (2023高二上·长安月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是PC、AD中点．
1. （1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
2. （2）求点E到平面PBF的距离．
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八、证明题

20. (2023高二上·长安月考) 如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，点 $\text{[math]}$ 在底面的投影 $\text{[math]}$ 点恰好是菱形 $\text{[math]}$ 对角线交点，点 $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正弦值．
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九、解答题

21. (2023高二上·长安月考) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正切值为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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十、证明题

22. (2023高二上·长安月考) 长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 中点（图1），将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ （图2），在图2中
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存点E ，使得平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，请说明理由．
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