北京市汇文中学教育集团2023-2024学年高三上学期数学期...

更新时间：2023-12-29 浏览次数：26 类型：期中考试

一、选择题（每题4分，共40分）

1. (2023高三上·北京市期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·北京市期中) 下列命题中，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的虚部是2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的共轭复数是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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3. (2023高三上·北京市期中) 已知点 $\text{[math]}$ 是角 $\text{[math]}$ 终边上一点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三上·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示两条不同的直线， $\text{[math]}$ 表示平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·北京市期中) 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·北京市期中) 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·北京市期中) 在数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”是单调递增数列的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2023高三上·北京市期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象若函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则t的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023高三上·北京市期中) 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体的棱长为1，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·北京市期中) 设函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
①当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有三个极值点；
②当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有三个极值点；
③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点；
④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是函数 $\text{[math]}$ 的极大值点.
其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ①④ D . ②④

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二、填空题（每题5分，共25分）

11. (2023高三上·北京市期中) 首项为1的等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，则公比 $\text{[math]}$ .

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12. (2023高三上·北京市期中) 若函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为.

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13. (2023高三上·北京市期中) 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面边长为2，体积为 $\text{[math]}$ ，则这个四棱锥的侧棱长为.

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14. (2023高三上·北京市期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数为.

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15. (2023高三上·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间单位向量， $\text{[math]}$ ，若空间向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (2023高三上·北京市期中) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件，并求 $\text{[math]}$ 的面积.
  条件①： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  注：条件选择错误，第（2）问得0分.
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17. (2023高三上·北京市期中) 如图，已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
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18. (2023高三上·北京市期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. (2023高三上·北京市期中) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
3. （3）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，请说明理由.
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20. (2023高三上·北京市期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为单调递增函数；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值在区间 $\text{[math]}$ 内，求整数 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2023高三上·北京市期中) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ .如果数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“衍生数列”.
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“衍生数列”是 $\text{[math]}$ ：5， $\text{[math]}$ ， 7，2，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为偶数，且 $\text{[math]}$ 的“衍生数列”是 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 的“衍生数列”是 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为奇数，且 $\text{[math]}$ 的“衍生数列”是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“衍生数列”是 $\text{[math]}$ ， …依次将数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …第 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）项取出，构成数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ….
  求证： $\text{[math]}$ 是等差数列.
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