一、单项选择题(本大题共8小题,共40分,在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项.)
-
1.
已知i为虚数单位,复数z满足
, 则共轭复数
在复平面内对应的点位于( )
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
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A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
-
3.
函数
的大致图象为( )
-
4.
已知
, 则
( )
-
5.
已知数列
为等差数列,其前n项和为
, 且
,
, 则
( )
A . 63
B . 72
C . 135
D . 144
-
6.
如图,棱长都相等的平行六面体
中,
, 则二面角
的余弦值为( )
-
-
8.
设函数
. 若
为函数
的零点,
为函数
的图象的对称轴,且
在区间
上有且只有一个极大值点,则
的最大值为( )
二、多项选择题(本大题共4小题,共20分.在每小题列出的选项中,有多项符合题目要求.)
三、填空题(本大题共4小题,共20分.)
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14.
如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为
, 则圆锥底面圆的半径等于
.
-
15.
已知
中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
,
, 则
面积的最大值为
.
-
16.
已知函数
,
. 若实数
,
满足
, 则
的最小值为
.
四、解答题(本大题共6小题,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
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17.
已知直线
:
,
:ax+y-a=0,且直线
与
垂直.
-
-
(2)
若直线l过直线
与
的交点P,且原点到该直线的距离为3,求直线l的方程.
-
-
(1)
若
, 求
的值;
-
-
19.
在四棱锥
中,侧面PAB为等边三角形,底面ABCD为直角梯形,
,
,
,
, E为线段AB的中点,过直线CE的平面与线段PA,PD分别交于点M,N.
-
(1)
求证:
平面PAB;
-
(2)
若直线PC与平面CEMN的所成角的正弦值为
, 求
的值.
-
20.
某大学生创客实践基地,甲、乙两个团队生产同种创新产品,现对其生产的产品进行质量检验.
-
(1)
为测试其生产水准,从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本,评估结果如图:
现将“一、二、三等”视为产品质量合格,其余为产品质量不合格,请完善2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为产品质量与生产团队有关联;
-
(2)
将甲乙生产的产品各自进行包装,每5个产品包装为一袋,现从中抽取一袋检测(假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为
, 来自乙生产的概率为
),求这袋产品中恰有4件合格品的概率(以(1)中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率).
附: , .
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
-
-
(1)
求
的通项公式;
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(2)
令
是以2为首项,2为公比的等比数列,数列
的前n项和为
.
-
-
22.
若对实数
, 函数
、
满足
, 且
, 则称
为“平滑函数”,
为该函数的“平滑点”
已知 , .
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(1)
若1是平滑函数
的“平滑点”,
①求实数a,b的值;
②若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切,求实数t的取值范围;
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(2)
判断是否存在
, 使得对任意
, 函数
存在正的“平滑点”,并说明理由.